相転移と繰り込み群の問題

$d$ 次元空間（$d$ は正の実数）の 1 成分の実スカラー場 $\varphi (\mathbf{x})$ に対するギンツブルグ・ランダウ・ウィルソンのハミルトニアン
$$\mathcal{H}[\varphi ]=\int d^{d}x\left[\frac{1}{2}(\nabla \varphi {)}^2+\frac{r}{2}{\varphi }^2+v{\varphi }^6\right]$$
を考える。運動量の切断を $\Lambda$ とし、運動量殻 $\Lambda /b<|\mathbf{k}|<\Lambda$（$b>1$）の積分・長さの再スケール $\mathbf{x}=b{\mathbf{x}}^{\prime }$・場の再スケールを行う繰り込み群変換を考える。場の再スケールは、勾配項の係数が $\frac{1}{2}$ のまま変わらないように決める。

ガウス固定点 $r=v=0$ のまわりで、結合定数 $v$ が $v^{\prime }=b^{y_v}v$ と変換されるとき、指数 $y_v$ を $d$ を用いて表せ。

$d=4-ϵ$ 次元（$0<ϵ\ll 1$）の $n$ 成分 $\mathrm{O}(n)$ 模型
$$\mathcal{H}=\int d^{d}x\left[\frac{1}{2}(\nabla \mathbf{\varphi }{)}^2+\frac{r}{2}{\mathbf{\varphi }}^2+u({\mathbf{\varphi }}^2{)}^2\right]$$
に対し、運動量の切断を $\Lambda =1$ とする運動量殻の繰り込み群を 1 ループで行うと、スケールパラメータ $l=\log b$ に対する流れの方程式は
$$\frac{dr}{dl}=2r+\frac{4(n+2)\bar{u}}{1+r},\frac{d\bar{u}}{dl}=ϵ\bar{u}-\frac{4(n+8){\bar{u}}^2}{(1+r{)}^2}$$
となる。ここで $\bar{u}=K_{d}u$（$K_d$ は正の定数）である。

$n=2$ のとき、ウィルソン・フィッシャー固定点（${\bar{u}}^{\ast }>0$ の固定点）のまわりで流れを線形化し、相関長の臨界指数 $\nu$ を $ϵ$ の 1 次まで求めよ。

3 次元ユークリッド空間で、1 方向（$\tau$ 方向）だけを長さ $L$ でコンパクト化し、残りの 2 方向 $\mathbf{r}=(x,y)$ は無限に広い系（$S_L^1\times {\mathbb{R}}^2$）を考える。この上の $N$ 成分の実スカラー場 $\mathbf{n}(x)$（制約 $\mathbf{n}\cdot \mathbf{n}=1$）からなる $O(N)$ 非線形シグマ模型
$$S=\frac{N}{2g}\int d^{3}x\left[({\partial }_{\mu }\mathbf{n}{)}^2+i\lambda (x)\left(\mathbf{n}\cdot \mathbf{n}-1\right)\right]$$
を考える。ただし $\tau$ 方向には、すべての成分の符号を反転させる反周期的（ねじれ）境界条件
$$\mathbf{n}(\tau +L,\mathbf{r})=-\mathbf{n}(\tau ,\mathbf{r})$$
を課す（$\mathbf{n}\to -\mathbf{n}$ は $O(N)$ の元なので制約と作用を保つ）。

$N\to \infty$ の主要次数（鞍点近似）で扱う。鞍点では $i\lambda =m^2$（$m^2$ は実定数）となり、
$$⟨n_a(x)n_b(x^{\prime })⟩={\delta }_{ab}\frac{g}{N}G(x,x^{\prime }),G={\left(-{\partial }^2+m^2\right)}^{-1}$$
（$G$ は上の反周期的境界条件を満たすグリーン関数）で、$m^2$ は制約条件 $gG(x,x)=1$（ギャップ方程式）で決まる。運動量積分には 3 次元運動量に対する紫外カットオフ $\Lambda$ を入れ、$\Lambda L\to \infty$ の極限をとる。

結合定数 $g$ は無秩序相 $g>g_c$ にあり、無限系（$L\to \infty$）でのギャップ $\Delta >0$ を用いて
$$\frac{1}{g}={\int }^{\Lambda }\frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{k^2+{\Delta }^2}$$
で与えられるとする。さらに $L$ は $\Delta L=2\log \frac{5}{2}$ を満たすとする。自然単位系を用い、$\log$ は自然対数とする。

この系で、相関関数 $⟨\mathbf{n}(\tau ,\mathbf{r})\cdot \mathbf{n}(\tau ,0)⟩$ が $|\mathbf{r}|\to \infty$ で $e^{-|\mathbf{r}|/\xi }$（べき因子を除く）のように減衰するときの相関長 $\xi$ を定義する。比 $\xi /L$ を、正確な値（$\pi$ と対数と根号を用いた式）で求めよ。

3 状態ポッツ模型をダイヤモンド型階層格子の上で考える。各スピン ${\sigma }_i$ は $1,2,3$ のいずれかの値をとる。換算ハミルトニアンは
$$-\beta \mathcal{H}=K\sum _{⟨ij⟩}{\delta }_{{\sigma }_i,{\sigma }_j}(K>0)$$
である。和は格子のすべてのボンドについてとる。

この格子は次の操作をくり返して作る。1 本のボンドを、両端の 2 点を結ぶ 2 本の並列な経路に置き換える。それぞれの経路は、内部スピン 1 個をはさんで直列につながった 2 本のボンドからなる（1 本のボンドが 4 本のボンドと内部スピン 2 個からなる「ひし形」になる）。逆に、ひし形の内部スピン 2 個についての和を厳密にとる（デシメーション）と、両端を結ぶ 1 本の有効ボンドに戻る。その結合定数を $K^{\prime }$ とする。これにより厳密な繰り込み変換 $K\to K^{\prime }$ が得られる。この変換で長さの尺度は $b=2$ 倍になる（両端の間の最短経路のボンド数が $2$ から $1$ になる）。

この変換には $0<K^{\ast }<\infty$ を満たす非自明な固定点 $K^{\ast }$ がある。$K^{\ast }$ のまわりで変換を線形化した固有値を $\lambda ={\frac{d{K}^{\prime }}{dK}|}_{K=K^{\ast }}$ とする。相関長の臨界指数 $\nu$ は $\xi \propto |K-K^{\ast }{|}^{-\nu }$ で定義され、$\nu =\frac{\log b}{\log \lambda }$ で与えられる。$\nu$ を自然対数を用いた閉じた形で求めよ。

一様なスカラー秩序変数 $m$（実数）をもつ系の三重臨界点近傍を、次のランダウ自由エネルギー密度で記述する。
$$f(m)=\frac{a}{2}t{m}^2+\frac{u}{6}{m}^6-hm$$
ここで $a>0$, $u>0$ は定数、$t=(T-T_c)/T_c$ は換算温度、$h$ は秩序変数に共役な外場（実数）である。$m^4$ の係数は $0$ に調整されているものとする。熱平衡状態の $m$ は $f(m)$ を最小にする値で与えられ、ゆらぎは無視する（平均場近似）。

臨界指数と振幅を次のように定義する。
- $h=0$, $t\to 0^{-}$ で $|m|\propto (-t{)}^{\beta }$
- $h\to 0$ での帯磁率 $\chi ={\frac{\partial m}{\partial h}|}_{h\to 0}$ が $t\to 0^{\pm }$ で $\chi \simeq {\Gamma }_{\pm }|t{|}^{-\gamma }$（$t<0$ では自発的に対称性が破れた平衡状態の一方で評価する）
- $t=0$, $h\to 0^{+}$ で $m\propto h^{1/\delta }$

$\beta$, $\gamma$, $\delta$, ${\Gamma }_{+}/{\Gamma }_{-}$ をこの順に組で求めよ。