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相転移と繰り込み群の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院物理相転移と繰り込み群

$d = 4 - ϵ$ 次元（ $0 < ϵ ≪ 1$ ）の $n$ 成分 $O (n)$ 模型
$H = \int d^{d} x [\frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{r}{2} ϕ^{2} + u (ϕ^{2})^{2}]$
に対し、運動量の切断を $Λ = 1$ とする運動量殻の繰り込み群を 1 ループで行うと、スケールパラメータ $l = lo g b$ に対する流れの方程式は
$\frac{d r}{d l} = 2 r + \frac{4 ( n + 2 ) u ˉ}{1 + r}, \frac{d u ˉ}{d l} = ϵ u ˉ - \frac{4 ( n + 8 ) u ˉ ^{2}}{( 1 + r ) ^{2}}$
となる。ここで $u ˉ = K_{d} u$ （ $K_{d}$ は正の定数）である。

$n = 2$ のとき、ウィルソン・フィッシャー固定点（ $u ˉ^{*} > 0$ の固定点）のまわりで流れを線形化し、相関長の臨界指数 $ν$ を $ϵ$ の 1 次まで求めよ。

この問題で使うもの

O(n) 模型の ε 展開（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（151 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「O(n) 模型の ε 展開」を使います。まず $d u ˉ / d l = 0$ からウィルソン・フィッシャー固定点 $u ˉ^{*}$ を求めます。

ヒント 2

固定点で $d r / d l$ を $r$ で偏微分したものが、 $ϵ$ の 1 次までの温度の固有値 $y_{t}$ になります（ $ν = 1/ y_{t}$ ）。

ヒント 3

$u ˉ^{*} = \frac{ϵ}{4 ( n + 8 )}$ 、 $y_{t} = 2 - 4 (n + 2) u ˉ^{*}$ です。 $n = 2$ を入れて $1/ y_{t}$ を $ϵ$ で展開します。

答えと解説

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\frac{1}{2} + \frac{ϵ}{10}

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解説を読む

1. 固定点を求める　 $ϵ$ の 1 次までで考える。 $d u ˉ / d l = 0$ で $u ˉ^{*} \neq = 0$ とすると、 $r^{*} = O (ϵ)$ なので $(1 + r^{*})^{2} \approx 1$ として
$u ˉ^{*} = \frac{ϵ}{4 ( n + 8 )} .$
$d r / d l = 0$ からは $r^{*} \approx - 2 (n + 2) u ˉ^{*} = - \frac{( n + 2 ) ϵ}{2 ( n + 8 )}$ で、確かに $O (ϵ)$ である。

2. 線形化　 $δ r = r - r^{*}$ , $δ u ˉ = u ˉ - u ˉ^{*}$ とおく。
$\frac{\partial}{\partial r} (\frac{d r}{d l}) = 2 - \frac{4 ( n + 2 ) u ˉ}{( 1 + r ) ^{2}}_{*} = 2 - 4 (n + 2) u ˉ^{*} + O (ϵ^{2}),$
$\frac{\partial}{\partial r} (\frac{d u ˉ}{d l}) = \frac{8 ( n + 8 ) u ˉ ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}}_{*} = O (ϵ^{2}) .$
線形化行列の左下の成分が $O (ϵ^{2})$ なので、 $ϵ$ の 1 次までは行列は上三角とみなせ、固有値は対角成分そのものである。温度方向の固有値は
$y_{t} = 2 - 4 (n + 2) \cdot \frac{ϵ}{4 ( n + 8 )} = 2 - \frac{n + 2}{n + 8} ϵ .$

3. $ν$ を求める　 $ν = \frac{1}{y _{t}}$ を $ϵ$ について展開すると
$ν = \frac{1}{2} (1 - \frac{n + 2}{2 ( n + 8 )} ϵ)^{- 1} \approx \frac{1}{2} + \frac{n + 2}{4 ( n + 8 )} ϵ .$
$n = 2$ を代入すると $\frac{n + 2}{4 ( n + 8 )} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$ なので
$ν = \frac{1}{2} + \frac{ϵ}{10} + O (ϵ^{2}) .$

別解

固定点の条件 $\frac{d u ˉ}{d l} = 0$ ( $u ˉ \neq = 0$ ) より $u ˉ^{*} = \frac{ϵ ( 1 + r ^{*} ) ^{2}}{4 ( n + 8 )}$ 。 $\frac{d r}{d l} = 0$ より $r^{*} = - \frac{2 ( n + 2 ) u ˉ ^{*}}{1 + r ^{*}}$ 。 $ϵ$ の最低次で $r^{*} = - \frac{( n + 2 ) ϵ}{2 ( n + 8 )}$ 、 $u ˉ^{*} = \frac{ϵ}{4 ( n + 8 )}$ （ $r^{*}$ は $O (ϵ)$ なので $u ˉ^{*}$ の補正は $O (ϵ^{2})$ ）。
線形化行列 $(\partial_{r} r ˙ \partial_{r} u ˉ ˙ \partial_{u ˉ} r ˙ \partial_{u ˉ} u ˉ ˙)$ の成分は
$\partial_{r} r ˙ = 2 - \frac{4 ( n + 2 ) u ˉ ^{*}}{( 1 + r ^{*} ) ^{2}} = 2 - \frac{( n + 2 ) ϵ}{n + 8} + O (ϵ^{2})$ 、 $\partial_{u ˉ} r ˙ = \frac{4 ( n + 2 )}{1 + r ^{*}} = O (1)$ 、 $\partial_{r} u ˉ ˙ = \frac{8 ( n + 8 ) u ˉ ^{* 2}}{( 1 + r ^{*} ) ^{3}} = O (ϵ^{2})$ 、 $\partial_{u ˉ} u ˉ ˙ = ϵ - \frac{8 ( n + 8 ) u ˉ ^{*}}{( 1 + r ^{*} ) ^{2}} = - ϵ + O (ϵ^{2})$ 。
非対角成分の積は $O (ϵ^{2})$ で、固有値の差は $O (1)$ なので固有値への補正は $O (ϵ^{2})$ 。したがって温度（ $r$ ）方向の固有値 $y_{t} = 2 - \frac{( n + 2 ) ϵ}{n + 8} + O (ϵ^{2})$ 、もう一方は $- ϵ$ 。
$ν = \frac{1}{y _{t}} = \frac{1}{2} [1 - \frac{( n + 2 ) ϵ}{2 ( n + 8 )}]^{- 1} = \frac{1}{2} + \frac{( n + 2 ) ϵ}{4 ( n + 8 )} + O (ϵ^{2})$ 。
$n = 2$ : $ν = \frac{1}{2} + \frac{4 ϵ}{4 \cdot 10} = \frac{1}{2} + \frac{ϵ}{10}$ 。
検算: $n = 1$ のイジングでは $ν = \frac{1}{2} + \frac{ϵ}{12}$ （既知）。一般式 $\frac{3 ϵ}{4 \cdot 9} = \frac{ϵ}{12}$ と一致。

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