実空間繰り込み群（デシメーション）の固定点

1 次元鎖や階層格子でデシメーションによる繰り込み変換 $K^{'} = R (K)$ を作り、固定点 $K^{*}$ を求め、線形化した固有値 $λ = R^{'} (K^{*})$ から $ν = lo g b / lo g λ$ を求められる

前提

部分和による有効結合（デコレーション・デシメーション）（大学院物理相転移と繰り込み群）

この技能までの道筋（118 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
ボイル・シャルルの法則（高校物理熱と気体）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体分子運動論（高校物理熱と気体）
理想気体の内部エネルギー（高校物理熱と気体）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）
熱力学第一法則（高校物理熱と気体）
定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）
熱機関のサイクルと熱効率（高校物理熱と気体）
等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（高校物理熱と気体）
一般の準静的過程の仕事と熱（大学物理熱力学）
カルノーサイクル（大学物理熱力学）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
ボイル・シャルルの法則と理想気体（高校物理熱と気体（知識））
気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））
熱機関と熱効率（高校物理熱と気体（知識））
可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））
カルノーの定理と効率・成績係数の上限（大学物理熱力学）
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
可逆過程のエントロピー変化（大学物理熱力学）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
同じものを含む順列・重複組合せ（数学A 場合の数と確率）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
ミクロカノニカル分布とボルツマンのエントロピー（大学物理統計力学）
カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
部分和による有効結合（デコレーション・デシメーション）（大学院物理相転移と繰り込み群）

説明

スピン系の一部のスピンについて和をとって消し（デシメーション）、残ったスピンが元と同じ形のハミルトニアンをもつように結合を付け替えると、結合の変換 $K^{'} = R (K)$ （繰り込み変換）が得られます。この変換で変わらない値 $K^{*} = R (K^{*})$ （固定点）が相転移点の候補で、その近くでの変換の傾き $λ = R^{'} (K^{*})$ から相関長の臨界指数 $ν = lo g b / lo g λ$ （ $b$ は長さの縮尺の倍率）が求められます。1 次元鎖では厳密に、階層格子（結合を一定の規則で入れ子に置きかえてつくる格子）でも厳密に計算できる、繰り込み群のいちばん具体的な例です。

なぜそうしてよいのか

$K = β J$ （ $β = 1/ k_{B} T$ ）とします。1 次元鎖で 1 つおきのスピンについて和をとると、残ったスピンは格子間隔 2 倍の鎖をつくり、部分和の公式から隣どうしの有効結合は $tanh K^{'} = tanh^{2} K$ となります。より一般に、結合 $K_{1}, K_{2}$ が直列につながった中間スピンを消すと、 $\sum_{σ} e^{σ (K_{1} s_{1} + K_{2} s_{2})} = 2 cosh K_{1} cosh K_{2} (1 + s_{1} s_{2} tanh K_{1} tanh K_{2})$ より $tanh K^{'} = tanh K_{1} tanh K_{2}$ です（ $cosh x = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ 、 $tanh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}$ ）。並列につながった結合は指数の肩で足し合わさるので $K^{'} = K_{1} + K_{2}$ です。この 2 つの規則で、1 次元鎖や階層格子の $R (K)$ が作れます。残った系は元と同じ形なので、変換を何度でもくり返せます。

変換のたびに長さの目盛りは $1/ b$ になる（ $b$ 個ぶんの間隔が 1 個ぶんになる）ので、相関長は格子間隔を単位として $ξ (K^{'}) = ξ (K) / b$ となります。相関長が変換で変わらないのは $ξ = 0$ か $ξ = \infty$ のときだけなので、 $K^{*} = R (K^{*})$ を満たす固定点は、完全に無秩序（ $K^{*} = 0$ ）か完全に秩序（ $K^{*} = \infty$ ）か、あるいは $ξ = \infty$ の臨界点です。固定点の近くで $K = K^{*} + δ K$ とおきテイラー展開すると $δ K^{'} \approx λ δ K$ （ $λ = R^{'} (K^{*})$ ）。臨界点のまわりで $ξ \propto ∣ δ K ∣^{- ν}$ とすると、 $ξ (K^{'}) = ξ (K) / b$ は $∣ λ δ K ∣^{- ν} = ∣ δ K ∣^{- ν} / b$ 、すなわち $λ^{ν} = b$ を意味し、 $ν = lo g b / lo g λ$ が得られます。 $λ > 1$ ならその固定点から離れる向きに流れ（不安定、臨界点）、 $λ < 1$ なら近づく向きに流れます（安定、高温相または低温相を代表する点）。

例として、各結合を「2 本直列の経路 2 本の並列」で置きかえていくダイヤモンド型の階層格子（ $b = 2$ ）では、直列で $tanh K_{s} = tanh^{2} K$ 、すなわち $K_{s} = \frac{1}{2} lo g cosh 2 K$ 、並列で $K^{'} = 2 K_{s}$ なので $R (K) = lo g cosh 2 K$ です。 $x = e^{K^{*}}$ とおくと固定点の条件は $x^{4} - 2 x^{3} + 1 = (x - 1) (x^{3} - x^{2} - x - 1) = 0$ で、 $x = 1$ （ $K^{*} = 0$ ）のほかに $x \approx 1.839$ （ $K^{*} \approx 0.609$ ）の臨界固定点があり、 $λ = 2 tanh 2 K^{*} \approx 1.68$ 、 $ν = lo g 2/ lo g λ \approx 1.34$ となります。一方 1 次元鎖では、 $0 < K < \infty$ で $tanh K^{'} = tanh^{2} K < tanh K$ なので臨界固定点はなく、有限温度で転移は起こりません。

手順

どのスピンを消すかを決め、長さの倍率 $b$ を確認する（1 次元鎖で $b - 1$ 個おきに消すなら倍率 $b$ ）。
直列の規則 $tanh K^{'} = tanh K_{1} tanh K_{2}$ と並列の規則 $K^{'} = K_{1} + K_{2}$ を組み合わせて、繰り込み変換 $K^{'} = R (K)$ を作る。
$K^{*} = R (K^{*})$ を解いて固定点をすべて求める（ $K^{*} = 0, \infty$ も含める）。
固定点で $λ = R^{'} (K^{*})$ を計算する。 $K^{*} = \infty$ のように $K$ のままでは扱いにくい点では、 $u = e^{- 2 K}$ などその点が有限の値になる変数に変えて $λ = d u^{'} / d u ∣_{u^{*}}$ を求める。
$λ > 1$ の固定点について $ν = lo g b / lo g λ$ を求める。

例題

1 次元イジング鎖 $H = - J \sum_{i} s_{i} s_{i + 1}$ （ $s_{i} = \pm 1$ 、 $J > 0$ 、磁場なし）で、3 つおきにスピンを残し、間の 2 個のスピンについて和をとる繰り込み変換（長さの倍率 $b = 3$ ）を考える。 $K = β J$ （ $β = 1/ k_{B} T$ ）とし、変数 $u = e^{- 2 K}$ で変換を $u^{'} = R (u)$ と表す。絶対零度の固定点 $u^{*} = 0$ での $λ = \frac{d u ^{'}}{d u}_{u = 0}$ と、 $ν = lo g b / lo g λ$ をこの順に求めよ。

例題の解答

手順 1: 残すスピンの間には結合 $K$ が 3 本直列に並び、間の 2 個のスピンを消す。 $b = 3$ 。

手順 2: 直列の規則を 2 回使うと $tanh K^{'} = tanh K \cdot tanh K \cdot tanh K = tanh^{3} K$ 。 $u = e^{- 2 K}$ を使うと $tanh K = \frac{1 - u}{1 + u}$ 、同様に $tanh K^{'} = \frac{1 - u ^{'}}{1 + u ^{'}}$ なので、 $\frac{1 - u ^{'}}{1 + u ^{'}} = (\frac{1 - u}{1 + u})^{3}$ 。これを $u^{'}$ について解くと
$u^{'} = \frac{( 1 + u ) ^{3} - ( 1 - u ) ^{3}}{( 1 + u ) ^{3} + ( 1 - u ) ^{3}} = \frac{6 u + 2 u ^{3}}{2 + 6 u ^{2}} = \frac{u ( 3 + u ^{2} )}{1 + 3 u ^{2}} .$

手順 3: $u^{*} = 0$ （ $K = \infty$ 、 $T = 0$ ）は $R (0) = 0$ を満たす固定点である。（ほかに $u^{*} = 1$ 、すなわち $K^{*} = 0$ も固定点。）

手順 4: $u^{'} = u (3 + u^{2}) (1 + 3 u^{2})^{- 1} = 3 u + O (u^{3})$ なので
$λ = \frac{d u ^{'}}{d u}_{u = 0} = 3.$
$λ > 1$ なので $T = 0$ の固定点は不安定で、低温から温度を上げると無秩序側に流れる。

手順 5: $ν = \frac{lo g 3}{lo g 3} = 1$ 。実際、1 次元鎖の厳密な相関長 $ξ = - 1/ lo g tanh K$ は $u \to 0$ で $ξ \approx \frac{1}{2 u} \propto u^{- 1}$ となり、 $ν = 1$ と一致する。

答え: $(3, 1)$

よくある誤り

$K^{*} = \infty$ の固定点で $K$ のまま微分して $λ$ を求めてしまう誤り。例題の変換は $K$ で書くと $K^{'} \approx K - \frac{1}{2} lo g 3$ で $d K^{'} / d K \to 1$ となり、何もわからない。正しくは固定点が有限の値になる変数 $u = e^{- 2 K}$ を使い、 $u^{'} \approx 3 u$ から $λ = 3$ 。
$ν = lo g λ / lo g b$ と逆にしてしまう誤り。 $ξ (K^{'}) = ξ (K) / b$ と $δ K^{'} = λ δ K$ から $λ^{ν} = b$ なので、正しくは $ν = lo g b / lo g λ$ 。ダイヤモンド階層格子では $ν = lo g 2/ lo g 1.68 \approx 1.34$ （逆にすると $0.75$ ）。
直列の結合を $K^{'} = K_{1} + K_{2}$ 、並列の結合を $tanh K^{'} = tanh K_{1} tanh K_{2}$ と取り違える誤り。直列（間のスピンを消す）は $tanh K^{'} = tanh K_{1} tanh K_{2}$ 、並列（同じ 2 スピンを直接結ぶ）は $K^{'} = K_{1} + K_{2}$ 。たとえばダイヤモンド階層格子は $R (K) = 2 \cdot \frac{1}{2} lo g cosh 2 K = lo g cosh 2 K$ で、 $\frac{1}{2} lo g cosh 2 K$ ではない。
自明な固定点 $K^{*} = 0$ を見落とす、または固定点ならどれも臨界点だとしてしまう誤り。 $K^{*} = 0$ は $tanh K^{'} = tanh^{b} K$ より $λ = 0$ （ $t = tanh K$ で $t^{'} = t^{b}$ ）で安定な高温固定点であり、臨界点は $λ > 1$ の不安定な固定点に限る。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
ダイヤモンド型階層格子上のボンド・パーコレーションを考える。この格子は、1 本のボンドを「2 本のボンドを直列につないだ経路を 2 本並列に並べたもの」（4 本のボンドからなるひし形）に置き換える操作をくり返して作られる。各ボンドは互いに独立に確率 $p$ （ $0 \leq p \leq 1$ ）でつながっている。
ひし形の内部の 2 つの頂点についてデシメーション（和をとって消去）を行い、ひし形を 1 本の有効ボンドに置き換える。有効ボンドがつながっている確率 $p^{'}$ は、ひし形の両端の頂点がつながっている確率とする。この変換で長さの尺度は $b = 2$ 倍になる。
繰り込み変換 $p^{'} = R (p)$ の $0 < p^{*} < 1$ を満たす固定点 $p^{*}$ での固有値 $λ = R^{'} (p^{*})$ を用いて、相関長指数 $ν = \frac{lo g b}{lo g λ}$ を求めよ。答えは自然対数と根号を用いた正確な形で表せ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
3 状態ポッツ模型をダイヤモンド型階層格子の上で考える。各スピン $σ_{i}$ は $1, 2, 3$ のいずれかの値をとる。換算ハミルトニアンは
$- β H = K ⟨ ij ⟩ \sum δ_{σ_{i}, σ_{j}} (K > 0)$
である。和は格子のすべてのボンドについてとる。
この格子は次の操作をくり返して作る。1 本のボンドを、両端の 2 点を結ぶ 2 本の並列な経路に置き換える。それぞれの経路は、内部スピン 1 個をはさんで直列につながった 2 本のボンドからなる（1 本のボンドが 4 本のボンドと内部スピン 2 個からなる「ひし形」になる）。逆に、ひし形の内部スピン 2 個についての和を厳密にとる（デシメーション）と、両端を結ぶ 1 本の有効ボンドに戻る。その結合定数を $K^{'}$ とする。これにより厳密な繰り込み変換 $K \to K^{'}$ が得られる。この変換で長さの尺度は $b = 2$ 倍になる（両端の間の最短経路のボンド数が $2$ から $1$ になる）。
この変換には $0 < K^{*} < \infty$ を満たす非自明な固定点 $K^{*}$ がある。 $K^{*}$ のまわりで変換を線形化した固有値を $λ = \frac{d K ^{'}}{d K}_{K = K^{*}}$ とする。相関長の臨界指数 $ν$ は $ξ \propto ∣ K - K^{*} ∣^{- ν}$ で定義され、 $ν = \frac{lo g b}{lo g λ}$ で与えられる。 $ν$ を自然対数を用いた閉じた形で求めよ。

この技能の次に学べること

繰り込み群の固有値と臨界指数（大学院物理相転移と繰り込み群）