相転移と繰り込み群の問題

3 状態ポッツ模型をダイヤモンド型階層格子の上で考える。各スピン ${\sigma }_i$ は $1,2,3$ のいずれかの値をとる。換算ハミルトニアンは
$$-\beta \mathcal{H}=K\sum _{⟨ij⟩}{\delta }_{{\sigma }_i,{\sigma }_j}(K>0)$$
である。和は格子のすべてのボンドについてとる。

この格子は次の操作をくり返して作る。1 本のボンドを、両端の 2 点を結ぶ 2 本の並列な経路に置き換える。それぞれの経路は、内部スピン 1 個をはさんで直列につながった 2 本のボンドからなる（1 本のボンドが 4 本のボンドと内部スピン 2 個からなる「ひし形」になる）。逆に、ひし形の内部スピン 2 個についての和を厳密にとる（デシメーション）と、両端を結ぶ 1 本の有効ボンドに戻る。その結合定数を $K^{\prime }$ とする。これにより厳密な繰り込み変換 $K\to K^{\prime }$ が得られる。この変換で長さの尺度は $b=2$ 倍になる（両端の間の最短経路のボンド数が $2$ から $1$ になる）。

この変換には $0<K^{\ast }<\infty$ を満たす非自明な固定点 $K^{\ast }$ がある。$K^{\ast }$ のまわりで変換を線形化した固有値を $\lambda ={\frac{d{K}^{\prime }}{dK}|}_{K=K^{\ast }}$ とする。相関長の臨界指数 $\nu$ は $\xi \propto |K-K^{\ast }{|}^{-\nu }$ で定義され、$\nu =\frac{\log b}{\log \lambda }$ で与えられる。$\nu$ を自然対数を用いた閉じた形で求めよ。

2 次元正方格子（最近接サイトの数 $z=4$）上の強磁性イジング模型
$$H=-J\sum _{⟨i,j⟩}{s}_i{s}_j(J>0,s_i=\pm 1)$$
を考える。和は最近接のサイトの組（各組 1 回）についてとり、磁場はない。系は温度 $T$ の熱平衡にあり、$k_B$ はボルツマン定数とする。

ワイスの分子場近似（各スピンにとって隣接スピンをその平均値 $m=⟨s_i⟩$ で置き換える近似）を用いるとき、自発磁化が $m=\frac{1}{2}$ となる温度 $T$ について、$\frac{k_{B}T}{J}$ を求めよ。

$N$ 個のイジングスピン $s_i=\pm 1$（$i=1,\dots ,N$）が格子間隔 $1$ の 1 次元の環（周期境界条件 $s_{N+1}=s_1$）に並び、エネルギーが
$$E=-J\sum _{i=1}^N{s}_i{s}_{i+1}(J>0)$$
で与えられる（磁場はない）。系は温度 $T$ の熱平衡にあり、$K=\frac{J}{k_{B}T}$ とする。

転移行列の固有値を ${\lambda }_{+}>|{\lambda }_{-}|$ とし、$N\to \infty$ での相関長を $\xi =\frac{1}{\log ({\lambda }_{+}/{\lambda }_{-})}$（格子間隔を単位とする）で定める。$K=\frac{1}{2}\log 2$ のとき、$\xi$ を求めよ。

正方格子上の異方的な強磁性イジング模型
$$H=-J_x\sum _{⟨ij{⟩}_x}{\sigma }_i{\sigma }_j-J_y\sum _{⟨ij{⟩}_y}{\sigma }_i{\sigma }_j({\sigma }_i=\pm 1,J_x>0,J_y>0)$$
を考える。ここで $⟨ij{⟩}_x$, $⟨ij{⟩}_y$ はそれぞれ $x$ 方向・$y$ 方向の最近接対を表す。$K_x=\frac{J_x}{k_{B}T}$, $K_y=\frac{J_y}{k_{B}T}$ とおく（$k_B$ はボルツマン定数、$T$ は温度）。

この模型の相転移の温度で $K_x=\frac{1}{2}\log 2$ であった。このときの $K_y$ を、対数を用いた正確な形で求めよ。ただし、熱力学極限での臨界条件はオンサーガーの結果 $\sinh 2K_x\sinh 2K_y=1$ で与えられることを用いてよい。

$d$ 次元空間（$d$ は正の実数）の 1 成分の実スカラー場 $\varphi (\mathbf{x})$ に対するギンツブルグ・ランダウ・ウィルソンのハミルトニアン
$$\mathcal{H}[\varphi ]=\int d^{d}x\left[\frac{1}{2}(\nabla \varphi {)}^2+\frac{r}{2}{\varphi }^2+v{\varphi }^6\right]$$
を考える。運動量の切断を $\Lambda$ とし、運動量殻 $\Lambda /b<|\mathbf{k}|<\Lambda$（$b>1$）の積分・長さの再スケール $\mathbf{x}=b{\mathbf{x}}^{\prime }$・場の再スケールを行う繰り込み群変換を考える。場の再スケールは、勾配項の係数が $\frac{1}{2}$ のまま変わらないように決める。

ガウス固定点 $r=v=0$ のまわりで、結合定数 $v$ が $v^{\prime }=b^{y_v}v$ と変換されるとき、指数 $y_v$ を $d$ を用いて表せ。