相転移と繰り込み群の問題

2 次元正方格子（最近接サイトの数 $z=4$）上の強磁性イジング模型
$$H=-J\sum _{⟨i,j⟩}{s}_i{s}_j(J>0,s_i=\pm 1)$$
を考える。和は最近接のサイトの組（各組 1 回）についてとり、磁場はない。系は温度 $T$ の熱平衡にあり、$k_B$ はボルツマン定数とする。

ワイスの分子場近似（各スピンにとって隣接スピンをその平均値 $m=⟨s_i⟩$ で置き換える近似）を用いるとき、自発磁化が $m=\frac{1}{2}$ となる温度 $T$ について、$\frac{k_{B}T}{J}$ を求めよ。

3 つのイジングスピン $s_1,\sigma ,s_2$（それぞれ $\pm 1$）が $s_1-\sigma -s_2$ の順に鎖状につながり、ボルツマン因子が
$$e^{K\sigma (s_1+s_2)}(K>0)$$
で与えられている（$K$ は結合定数を $k_{B}T$ で割った無次元量）。真ん中のスピン $\sigma$ について和をとると、$s_1,s_2$ のすべての値について
$$\sum _{\sigma =\pm 1}{e}^{K\sigma (s_1+s_2)}=A{e}^{K^{\prime }{s}_1{s}_2}$$
が成り立つように、$s_1,s_2$ によらない定数 $A>0$ と有効結合 $K^{\prime }$ を決めることができる。

$K=\frac{1}{2}\log 2$ のとき、有効結合 $K^{\prime }$ を求めよ。

正方格子上の異方的な強磁性イジング模型
$$H=-J_x\sum _{⟨ij{⟩}_x}{\sigma }_i{\sigma }_j-J_y\sum _{⟨ij{⟩}_y}{\sigma }_i{\sigma }_j({\sigma }_i=\pm 1,J_x>0,J_y>0)$$
を考える。ここで $⟨ij{⟩}_x$, $⟨ij{⟩}_y$ はそれぞれ $x$ 方向・$y$ 方向の最近接対を表す。$K_x=\frac{J_x}{k_{B}T}$, $K_y=\frac{J_y}{k_{B}T}$ とおく（$k_B$ はボルツマン定数、$T$ は温度）。

この模型の相転移の温度で $K_x=\frac{1}{2}\log 2$ であった。このときの $K_y$ を、対数を用いた正確な形で求めよ。ただし、熱力学極限での臨界条件はオンサーガーの結果 $\sinh 2K_x\sinh 2K_y=1$ で与えられることを用いてよい。

一様な秩序変数 $m$（実数）をもつ系の単位体積あたりのランダウ自由エネルギーが、外場がないとき
$$f(T,m)=f_0(T)+\frac{a}{2}t{m}^2+\frac{b}{4}{m}^4,t=\frac{T-T_c}{T_c}$$
で与えられる。$a>0$, $b>0$ は温度によらない定数、$T_c>0$ は転移温度、$f_0(T)$ は $m$ によらない滑らかな関数である。熱平衡では $f$ が $m$ について最小となる値をとる。

単位体積あたりの比熱を $c=-T\frac{{\partial }^2{f}_{\text{eq}}}{\partial T^2}$（$f_{\text{eq}}$ は平衡での自由エネルギー）で定めるとき、転移点での比熱のとび
$$\Delta c=\underset{T\to T_c-0}{\lim }c-\underset{T\to T_c+0}{\lim }c$$
を $a$, $b$, $T_c$ を用いて表せ。

正方格子上の異方的な強磁性イジング模型を考える。ハミルトニアンは
$$H=-J_x\sum _{⟨ij{⟩}_x}{\sigma }_i{\sigma }_j-J_y\sum _{⟨ij{⟩}_y}{\sigma }_i{\sigma }_j,{\sigma }_i=\pm 1$$
とする。ここで $⟨ij{⟩}_x$, $⟨ij{⟩}_y$ はそれぞれ $x$ 方向、$y$ 方向の最近接格子点の対を表す。結合定数は
$$J_x=J,J_y=J{\log }_{2}3(J>0)$$
とし、外部磁場はない。熱力学的極限での相転移温度を $T_c$、ボルツマン定数を $k_B$ とする。$K_x=J_x/(k_{B}T)$, $K_y=J_y/(k_{B}T)$ とおくと、オンサーガーの厳密解によれば、この模型の自由エネルギーが特異になる（相転移が起こる）条件は
$$\sinh 2K_x\sinh 2K_y=1$$
である。これを用いて、$\frac{k_B{T}_c}{J}$ を正確な値で求めよ。