繰り込み群の固有値と臨界指数

固定点のまわりの固有値 $y_{t}, y_{h}$ （ $b^{y}$ ）から $ν = 1/ y_{t}$ 、 $α = 2 - d / y_{t}$ 、 $β = (d - y_{h}) / y_{t}$ 、 $γ = (2 y_{h} - d) / y_{t}$ などを求め、摂動が relevant・irrelevant・marginal かを判定し、クロスオーバー指数 $Φ = y_{g} / y_{t}$ を求められる

前提

実空間繰り込み群（デシメーション）の固定点（大学院物理相転移と繰り込み群）
スケーリング則（大学院物理相転移と繰り込み群）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
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平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
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$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
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増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
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三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
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ボイル・シャルルの法則と理想気体（高校物理熱と気体（知識））
気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））
熱機関と熱効率（高校物理熱と気体（知識））
可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））
カルノーの定理と効率・成績係数の上限（大学物理熱力学）
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
可逆過程のエントロピー変化（大学物理熱力学）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
同じものを含む順列・重複組合せ（数学A 場合の数と確率）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
ミクロカノニカル分布とボルツマンのエントロピー（大学物理統計力学）
カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
部分和による有効結合（デコレーション・デシメーション）（大学院物理相転移と繰り込み群）
実空間繰り込み群（デシメーション）の固定点（大学院物理相転移と繰り込み群）
熱力学関数と自然な変数（大学物理熱力学）
分配関数から求める自由エネルギー・エントロピー・熱容量（大学物理統計力学）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）
ランダウ理論と平均場の臨界指数（大学院物理相転移と繰り込み群）
スケーリング則（大学院物理相転移と繰り込み群）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）

説明

繰り込み変換の固定点のまわりで、温度方向・磁場方向などの「ずれ」がそれぞれ何倍に拡大されるか（固有値 $Λ = b^{y}$ ）がわかれば、その指数 $y_{t}, y_{h}$ と空間次元 $d$ だけで、すべての臨界指数 $ν = 1/ y_{t}$ 、 $α = 2 - d / y_{t}$ 、 $β = (d - y_{h}) / y_{t}$ 、 $γ = (2 y_{h} - d) / y_{t}$ などが求まります。また、ハミルトニアンに加えた新しい項（摂動）が臨界の振る舞いを変えるかどうかを、その固有値の指数 $y_{g}$ の符号で判定でき（relevant・irrelevant・marginal）、変える場合にはクロスオーバー指数 $Φ = y_{g} / y_{t}$ で効き始める温度の範囲を見積もれます。

なぜそうしてよいのか

固定点からのずれを $(t, h, g, \dots)$ とし、長さの倍率 $b$ の繰り込み変換を固定点のまわりで 1 次まで展開すると、ずれは行列（線形化行列）で変換されます。その固有ベクトルの方向にずれを分解すれば、各成分は独立に $u_{i}^{'} = Λ_{i} u_{i}$ と変換されます。2 回続けると倍率 $b^{2}$ の変換になるので $Λ_{i} (b) Λ_{i} (b) = Λ_{i} (b^{2})$ が成り立ち、これから $Λ_{i} = b^{y_{i}}$ の形が決まります（ $y_{i} = lo g Λ_{i} / lo g b$ ）。 $y_{i} > 0$ なら変換のたびにずれが拡大する（relevant、臨界点に近づくにはこれを 0 に調整する必要がある）、 $y_{i} < 0$ なら縮小する（irrelevant、大きな距離では効かなくなる）、 $y_{i} = 0$ なら 1 次では変わらない（marginal、対数補正などが生じる）と分類します。普通の臨界点では温度 $t$ と磁場 $h$ の 2 つが relevant です。

繰り込み変換は分配関数を変えず、1 サイトあたりの自由エネルギーの特異部分は、サイト数が $b^{- d}$ 倍になることから $f (t, h) = b^{- d} f (b^{y_{t}} t, b^{y_{h}} h)$ を満たします。 $b$ は任意なので $b = ∣ t ∣^{- 1/ y_{t}}$ と選ぶと $f (t, h) = ∣ t ∣^{d / y_{t}} f (\pm 1, h /∣ t ∣^{y_{h} / y_{t}})$ となり、スケーリング則の形 $∣ t ∣^{2 - α} Φ (h /∣ t ∣^{Δ})$ と比べて $2 - α = d / y_{t}$ 、 $Δ = y_{h} / y_{t}$ が得られます。スケーリング則で示した $β = 2 - α - Δ$ 、 $γ = 2Δ - (2 - α)$ 、 $δ = Δ/ β$ に代入すると、 $β = \frac{d - y _{h}}{y _{t}}$ 、 $γ = \frac{2 y _{h} - d}{y _{t}}$ 、 $δ = \frac{y _{h}}{d - y _{h}}$ です。相関長も同様に $ξ (t) = b ξ (b^{y_{t}} t)$ を満たし、 $b = ∣ t ∣^{- 1/ y_{t}}$ として $ξ \propto ∣ t ∣^{- 1/ y_{t}}$ 、つまり $ν = 1/ y_{t}$ （このとき $d ν = 2 - α$ も自動的に成り立つ）。フィッシャー則からは $η = d + 2 - 2 y_{h}$ となります。

第 3 のずれ $g$ （異方性・別の相互作用など）があるときも同じく $f = ∣ t ∣^{d / y_{t}} Ψ (h /∣ t ∣^{y_{h} / y_{t}}, g /∣ t ∣^{y_{g} / y_{t}})$ と書けます。 $y_{g} < 0$ なら $t \to 0$ で $g /∣ t ∣^{y_{g} / y_{t}} \to 0$ となり、 $g$ は臨界指数を変えません。 $y_{g} > 0$ なら $∣ t ∣ ≲ ∣ g ∣^{1/Φ}$ （ $Φ = y_{g} / y_{t}$ ）の範囲で $g$ の効果が支配的になり、別の臨界の振る舞いに移ります（クロスオーバー）。

手順

固定点のまわりで繰り込み変換を線形化し、ずれの変換行列を作る。
行列の固有値 $Λ_{i}$ を特性方程式 $det (A - Λ E) = 0$ から求め、 $y_{i} = lo g Λ_{i} / lo g b$ を計算する。
$y_{i} > 0$ なら relevant、 $y_{i} < 0$ なら irrelevant、 $y_{i} = 0$ なら marginal と判定する。温度・磁場に対応する relevant な指数を $y_{t}, y_{h}$ とする。
$ν = \frac{1}{y _{t}}$ 、 $α = 2 - \frac{d}{y _{t}}$ 、 $β = \frac{d - y _{h}}{y _{t}}$ 、 $γ = \frac{2 y _{h} - d}{y _{t}}$ 、 $δ = \frac{y _{h}}{d - y _{h}}$ 、 $η = d + 2 - 2 y_{h}$ に代入する。
そのほかの摂動 $g$ が relevant なら、クロスオーバー指数 $Φ = y_{g} / y_{t}$ を求める。

例題

空間次元 $d = 2$ のある模型で、長さの倍率 $b = 2$ の繰り込み変換を臨界固定点のまわりで線形化したところ、磁場 $0$ のもとで 2 つの結合のずれ $(δ K_{1}, δ K_{2})$ は
$(δ K_{1}^{'} δ K_{2}^{'}) = (5/4 3/4 3/4 5/4) (δ K_{1} δ K_{2})$
と変換された。また磁場方向の固有値は $Λ_{h} = 2^{15/8}$ であった。温度に対応するのは 1 より大きい方の固有値とする。臨界指数 $ν, β, γ$ をこの順に求めよ。

例題の解答

手順 2: 特性方程式は $(\frac{5}{4} - Λ)^{2} - \frac{9}{16} = 0$ より $Λ = \frac{5}{4} \pm \frac{3}{4}$ 、すなわち $Λ = 2, \frac{1}{2}$ 。 $b = 2$ なので $y = lo g Λ/ lo g 2$ は $1$ と $- 1$ 。磁場方向は $y_{h} = lo g 2^{15/8} / lo g 2 = \frac{15}{8}$ 。

手順 3: $y = 1 > 0$ の方向（固有ベクトル $(1, 1)$ ）が温度に対応し $y_{t} = 1$ （relevant）。 $y = - 1 < 0$ の方向（固有ベクトル $(1, - 1)$ ）は irrelevant で、臨界指数に影響しない。

手順 4: $d = 2, y_{t} = 1, y_{h} = \frac{15}{8}$ を代入して
$ν = \frac{1}{y _{t}} = 1, β = \frac{d - y _{h}}{y _{t}} = 2 - \frac{15}{8} = \frac{1}{8}, γ = \frac{2 y _{h} - d}{y _{t}} = \frac{15}{4} - 2 = \frac{7}{4} .$
（確認: $α = 2 - d / y_{t} = 0$ で、 $α + 2 β + γ = 0 + \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = 2$ とラッシュブルック則を満たす。これは 2 次元イジング模型の値である。）

答え: $(1, \frac{1}{8}, \frac{7}{4})$

よくある誤り

固有値 $Λ$ そのもの、または $lo g Λ$ を $y$ としてしまう誤り。 $Λ = b^{y}$ なので、正しくは $y = lo g Λ/ lo g b$ 。例題では $Λ = 2$ 、 $b = 2$ で $y_{t} = 1$ （ $lo g 2 \approx 0.69$ ではない）。
$α = 2 - d y_{t}$ や $ν = y_{t}$ としてしまう誤り。 $f = b^{- d} f (b^{y_{t}} t)$ で $b = ∣ t ∣^{- 1/ y_{t}}$ と選ぶので指数は $d / y_{t}$ となり、正しくは $α = 2 - \frac{d}{y _{t}}$ 、 $ν = \frac{1}{y _{t}}$ 。
$β = \frac{y _{h} - d}{y _{t}}$ と符号を逆にしてしまう誤り。 $m = - \partial f / \partial h$ で $h$ の微分から $∣ t ∣^{- y_{h} / y_{t}}$ が出るので、正しくは $β = \frac{d - y _{h}}{y _{t}}$ （例題では $\frac{1}{8} > 0$ ）。
クロスオーバー指数を $Φ = y_{t} / y_{g}$ としてしまう誤り。 $g$ は $g /∣ t ∣^{y_{g} / y_{t}}$ の組み合わせで現れるので、正しくは $Φ = y_{g} / y_{t}$ 。また $y_{g} < 0$ （irrelevant）の摂動にはクロスオーバーは起こらず、臨界指数は変わらない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
空間次元 $d = 3$ のある磁性体の模型について、長さのスケール因子 $b$ の繰り込み群変換を臨界固定点のまわりで線形化したところ、換算温度 $t$ と換算磁場 $h$ がそれぞれ固有値 $b^{y_{t}}$ , $b^{y_{h}}$ のスケーリング場になり、
$y_{t} = \frac{3}{2}, y_{h} = \frac{5}{2}$
であった。磁化率の臨界指数 $γ$ （ $χ \sim ∣ t ∣^{- γ}$ ）を既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
$d = 4 - ϵ$ 次元の $n$ 成分実スカラー場 $ϕ_{a} (x)$ $(a = 1, \dots, n)$ に対する、次のランダウ・ギンツブルグ・ウィルソン型のハミルトニアン（ボルツマン因子は $e^{- H}$ ）を考える。
$H = \int d^{d} x \frac{1}{2} a \sum (\nabla ϕ_{a})^{2} + \frac{r}{2} a \sum ϕ_{a}^{2} + \frac{1}{2} a, b \sum g_{ab} ϕ_{a} ϕ_{b} + u (a \sum ϕ_{a}^{2})^{2}$
ここで $n \geq 2$ は整数、 $r, u$ は実数で $u > 0$ 、 $g_{ab}$ は実対称かつトレースが $0$ （ $\sum_{a} g_{aa} = 0$ ）の行列で、 $O (n)$ 対称性を破る 2 次の異方性を表す。運動量の切断を $Λ$ とする。
$g_{ab} = 0$ のときのウィルソン・フィッシャー固定点のまわりで、 $r$ に対応する繰り込み群の固有値を $y_{t}$ 、 $g_{ab}$ に対応する固有値を $y_{g}$ とし、クロスオーバー指数を $Φ = y_{g} / y_{t}$ （ $= y_{g} ν$ ）で定義する。運動量殻を積分する繰り込み群を 1 ループで扱い、 $Φ$ を $ϵ$ の 1 次まで求めよ（答えは $n, ϵ$ の式で、 $ϵ^{2}$ 以上の項は書かない）。

この技能の次に学べること

運動量殻の繰り込み群とガウス固定点（大学院物理相転移と繰り込み群）
有限サイズスケーリングと相関長（大学院物理相転移と繰り込み群）
2 次元共形場理論の極小模型（大学院物理相転移と繰り込み群）