有限サイズスケーリングと相関長

有限の大きさ $L$ の系で物理量が $Q (t, L) = L^{κ / ν} Q ~ (t L^{1/ ν})$ の形になることを使い、擬臨界点のずれや最大値のサイズ依存性から指数を求め、帯状の系の相関長と $L$ の比を求められる

前提

繰り込み群の固有値と臨界指数（大学院物理相転移と繰り込み群）

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算数中学高校大学大学院

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繰り込み群の固有値と臨界指数（大学院物理相転移と繰り込み群）

説明

無限に大きな系では臨界点 $t = 0$ （ $t = (T - T_{c}) / T_{c}$ ）で比熱や帯磁率が発散しますが、数値計算や実験で扱える系は大きさ $L$ が有限なので、発散は丸められて有限の山になります。有限サイズスケーリングは、この山の高さや位置が $L$ とともにどう変わるかを $Q (t, L) = L^{κ / ν} Q ~ (t L^{1/ ν})$ という 1 つの形で表す考え方です。これを使うと、いくつかの $L$ のデータから臨界指数（ $γ / ν$ 、 $α / ν$ 、 $1/ ν$ など）を読み取ったり、帯状（幅 $L$ ）の系の相関長 $ξ_{L}$ と $L$ の比のふるまいを調べたりできます。モンテカルロ法や転送行列法で臨界指数を求めるときの基本の道具です。

なぜそうしてよいのか

無限系で $Q (t) \propto ∣ t ∣^{- κ}$ と発散する量（帯磁率なら $κ = γ$ 、相関長なら $κ = ν$ 、比熱なら $κ = α$ ）を考えます。繰り込み群で長さを $b$ 倍に粗視化すると、温度のずれは $t \to b^{y_{t}} t = b^{1/ ν} t$ と大きくなり、系の大きさは $L \to L / b$ と小さくなります。 $L$ も長さなので、ほかの長さと同じように $b$ で割られるのがポイントです。量 $Q$ の特異部分は粗視化で決まった倍率で変わるので
$Q (t, L) = b^{κ / ν} Q (b^{1/ ν} t, \frac{L}{b})$
と書けます（ $L = \infty$ で $b = ∣ t ∣^{- ν}$ と選べば $Q \propto ∣ t ∣^{- κ}$ が再現されるので、べきは $κ / ν$ と決まります）。

ここで $b$ は自由に選べるので、 $b = L$ と選ぶと $Q (t, L) = L^{κ / ν} Q (t L^{1/ ν}, 1)$ となり、1 変数の関数 $Q ~ (x) = Q (x, 1)$ を使って
$Q (t, L) = L^{κ / ν} Q ~ (x), x = t L^{1/ ν}$
が得られます。直観的には、 $Q$ は「相関長 $ξ \sim ∣ t ∣^{- ν}$ と系の大きさ $L$ の比」だけで振る舞いが決まり、 $x = t L^{1/ ν}$ はその比 $(L / ξ)^{1/ ν}$ にあたる、ということです。 $∣ x ∣ ≫ 1$ （ $ξ ≪ L$ ）では $Q ~ (x) \propto ∣ x ∣^{- κ}$ となって $L$ が消え、無限系の結果に戻ります。

この形からすぐ次のことがわかります。 $Q ~ (x)$ が $x = x^{*}$ で最大になるなら、山の位置（擬臨界点）は $t^{*} (L) = x^{*} L^{- 1/ ν}$ で、ずれは $L^{- 1/ ν}$ に比例して 0 に近づきます。山の高さは $Q_{m a x} (L) = Q ~ (x^{*}) L^{κ / ν} \propto L^{κ / ν}$ です。また相関長自身（ $κ = ν$ ）に当てはめると $ξ_{L} = L ξ ~ (t L^{1/ ν})$ なので、ちょうど臨界点 $t = 0$ では帯状の系の相関長と幅の比 $ξ_{L} / L = ξ ~ (0)$ が $L$ によらない定数になります。逆に、異なる $L$ で $ξ_{L} / L$ を $T$ の関数として描くと、曲線が 1 点で交わり、その点が $T_{c}$ を与えます。

手順

調べる量 $Q$ が無限系で $∣ t ∣^{- κ}$ のように振る舞うとき、その指数 $κ$ を確認する（帯磁率 $κ = γ$ 、比熱 $κ = α$ 、相関長 $κ = ν$ ）
有限サイズスケーリングの形 $Q (t, L) = L^{κ / ν} Q ~ (t L^{1/ ν})$ を書く
擬臨界点のずれは $∣ t^{*} (L) ∣ \propto L^{- 1/ ν}$ 、最大値は $Q_{m a x} (L) \propto L^{κ / ν}$ と読みかえる
2 つの大きさ $L_{1}, L_{2}$ のデータの比をとり、比例定数を消す： $\frac{t ^{*} ( L _{1} )}{t ^{*} ( L _{2} )} = (\frac{L _{1}}{L _{2}})^{- 1/ ν}$ 、 $\frac{Q _{m a x} ( L _{1} )}{Q _{m a x} ( L _{2} )} = (\frac{L _{1}}{L _{2}})^{κ / ν}$
両辺の対数をとって指数を求める（例： $\frac{1}{ν} = \frac{lo g ( t ^{*} ( L _{1} ) / t ^{*} ( L _{2} ) )}{lo g ( L _{2} / L _{1} )}$ ）
相関長については、臨界点で $ξ_{L} / L$ が $L$ によらない定数になることを使う（ $T_{c}$ の決定や、 $ξ_{L}$ と $L$ の比の計算）

例題

ある 3 次元の模型をモンテカルロ法で調べたところ、一辺 $L$ の系で比熱が最大になる温度 $T^{*} (L)$ と、無限系の臨界温度 $T_{c}$ との差 $T^{*} (L) - T_{c}$ が、 $L = 10$ で $0.040$ 、 $L = 40$ で $0.005$ であった（単位はどちらも同じ）。このずれは有限サイズスケーリング $T^{*} (L) - T_{c} \propto L^{- 1/ ν}$ に従うとし、補正項は無視する。相関長の臨界指数 $ν$ を求めよ。

例題の解答

手順 1・2：比熱は $κ = α$ の量で、 $C (t, L) = L^{α / ν} C ~ (t L^{1/ ν})$ と書ける。

手順 3： $C ~ (x)$ の最大を与える $x^{*}$ に対して、最大の位置は $t^{*} (L) = x^{*} L^{- 1/ ν}$ なので、 $T^{*} (L) - T_{c} = T_{c} x^{*} L^{- 1/ ν} \propto L^{- 1/ ν}$ である。

手順 4：2 つのデータの比をとって比例定数を消すと
$\frac{T ^{*} ( 10 ) - T _{c}}{T ^{*} ( 40 ) - T _{c}} = (\frac{10}{40})^{- 1/ ν} = 4^{1/ ν} .$
左辺は $\frac{0.040}{0.005} = 8$ である。

手順 5： $4^{1/ ν} = 8$ より $2^{2/ ν} = 2^{3}$ 、すなわち $\frac{2}{ν} = 3$ 。よって $ν = \frac{2}{3}$ 。

答え: $\frac{2}{3}$

よくある誤り

最大値の大きさが $L^{κ}$ に比例するとしてしまう誤り（例：帯磁率の最大を $χ_{m a x} \propto L^{γ}$ ）。正しくは $χ_{m a x} \propto L^{γ / ν}$ で、 $L$ のべきには必ず $1/ ν$ がかかる（ $L$ は長さで、 $ξ \sim ∣ t ∣^{- ν}$ と比べるため）。
擬臨界点のずれが $L^{- ν}$ に比例するとしてしまう誤り。正しくは $ξ \sim ∣ t ∣^{- ν}$ が $L$ と同じ程度になる $∣ t^{*} ∣ \sim L^{- 1/ ν}$ で、 $T^{*} (L) - T_{c} \propto L^{- 1/ ν}$ 。
比熱の最大値が必ず $L^{α / ν}$ で増えるとしてしまう誤り。 $α < 0$ のときは特異部分が減り、解析的な非特異部分が主になるので、最大値は有限の値に近づく（ $α = 0$ の 2 次元イジング模型では $C_{m a x} \propto lo g L$ ）。
臨界点で帯状の系の相関長 $ξ_{L}$ が $L$ によらない有限の値になるとしてしまう誤り。正しくは $ξ_{L} = L ξ ~ (0)$ で $L$ に比例して大きくなり、 $L$ によらないのは比 $ξ_{L} / L$ のほう。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
一辺 $L$ （格子間隔を単位とする）の有限の系で、連続相転移を示す模型の磁化率 $χ (t, L)$ を考える（ $t$ は換算温度）。臨界点近傍で $L$ が十分大きいとき、有限サイズスケーリング
$χ (t, L) = L^{γ / ν} χ ~ (t L^{1/ ν})$
が成り立つとする。ここで $χ ~$ は $L$ によらない関数で、ただ 1 つの最大値をもつ。この模型の臨界指数は $γ = \frac{5}{4}$ , $ν = \frac{5}{8}$ である。
各 $L$ で $t$ を変えたときの磁化率の最大値を $χ_{m a x} (L)$ とする。比 $\frac{χ _{m a x} ( 30 )}{χ _{m a x} ( 10 )}$ を求めよ。

この技能の次に学べること

大きい N の極限とギャップ方程式（大学院物理相転移と繰り込み群）