大きい N の極限とギャップ方程式

$O (N)$ 非線形シグマ模型を $N \to \infty$ の鞍点で扱い、ギャップ方程式 $g G (x, x) = 1$ を無限系や有限サイズ（周期・反周期境界条件）で解いて、質量ギャップや相関長を求められる

前提

有限サイズスケーリングと相関長（大学院物理相転移と繰り込み群）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
ガウス積分（大学数学微分積分）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
ボイル・シャルルの法則（高校物理熱と気体）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体分子運動論（高校物理熱と気体）
理想気体の内部エネルギー（高校物理熱と気体）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）
熱力学第一法則（高校物理熱と気体）
定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）
熱機関のサイクルと熱効率（高校物理熱と気体）
等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（高校物理熱と気体）
一般の準静的過程の仕事と熱（大学物理熱力学）
カルノーサイクル（大学物理熱力学）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
ボイル・シャルルの法則と理想気体（高校物理熱と気体（知識））
気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））
熱機関と熱効率（高校物理熱と気体（知識））
可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））
カルノーの定理と効率・成績係数の上限（大学物理熱力学）
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
可逆過程のエントロピー変化（大学物理熱力学）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
同じものを含む順列・重複組合せ（数学A 場合の数と確率）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
ミクロカノニカル分布とボルツマンのエントロピー（大学物理統計力学）
カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
部分和による有効結合（デコレーション・デシメーション）（大学院物理相転移と繰り込み群）
実空間繰り込み群（デシメーション）の固定点（大学院物理相転移と繰り込み群）
熱力学関数と自然な変数（大学物理熱力学）
分配関数から求める自由エネルギー・エントロピー・熱容量（大学物理統計力学）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）
ランダウ理論と平均場の臨界指数（大学院物理相転移と繰り込み群）
スケーリング則（大学院物理相転移と繰り込み群）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
繰り込み群の固有値と臨界指数（大学院物理相転移と繰り込み群）
有限サイズスケーリングと相関長（大学院物理相転移と繰り込み群）
置換積分（数学III 積分法）
三角関数の積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
広義積分（大学数学微分積分）
ガウス積分（大学数学微分積分）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）

この技能の説明は準備中です。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
2 次元ユークリッド空間の $O (N)$ 非線形シグマ模型
$S = \frac{N}{2 g} \int d^{2} x (\partial_{μ} n)^{2}, n^{2} = 1$
を考える（ $g > 0$ は結合定数、 $n$ は $N$ 成分の実ベクトル場）。拘束条件をラグランジュ未定乗数場で取り入れ、 $N \to \infty$ の鞍点で未定乗数場が一様な値 $m^{2}$ をとるとすると、質量ギャップ $m > 0$ はギャップ方程式
$g \int_{∣ k ∣ < Λ} \frac{d ^{2} k}{( 2 π ) ^{2}} \frac{1}{k ^{2} + m ^{2}} = 1$
で決まる。ここで $Λ > 0$ は運動量の切断（鋭い切断）である。質量ギャップ $m$ （正の値）を $g$ と $Λ$ を用いて表せ（切断の効果を近似せず、この式を厳密に解くこと）。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
3 次元ユークリッド空間で、1 方向（ $τ$ 方向）だけを長さ $L$ でコンパクト化し、残りの 2 方向 $r = (x, y)$ は無限に広い系（ $S_{L}^{1} \times R^{2}$ ）を考える。この上の $N$ 成分の実スカラー場 $n (x)$ （制約 $n \cdot n = 1$ ）からなる $O (N)$ 非線形シグマ模型
$S = \frac{N}{2 g} \int d^{3} x [(\partial_{μ} n)^{2} + iλ (x) (n \cdot n - 1)]$
を考える。ただし $τ$ 方向には、すべての成分の符号を反転させる反周期的（ねじれ）境界条件
$n (τ + L, r) = - n (τ, r)$
を課す（ $n \to - n$ は $O (N)$ の元なので制約と作用を保つ）。
$N \to \infty$ の主要次数（鞍点近似）で扱う。鞍点では $iλ = m^{2}$ （ $m^{2}$ は実定数）となり、
$⟨ n_{a} (x) n_{b} (x^{'})⟩ = δ_{ab} \frac{g}{N} G (x, x^{'}), G = (- \partial^{2} + m^{2})^{- 1}$
（ $G$ は上の反周期的境界条件を満たすグリーン関数）で、 $m^{2}$ は制約条件 $g G (x, x) = 1$ （ギャップ方程式）で決まる。運動量積分には 3 次元運動量に対する紫外カットオフ $Λ$ を入れ、 $Λ L \to \infty$ の極限をとる。
結合定数 $g$ は無秩序相 $g > g_{c}$ にあり、無限系（ $L \to \infty$ ）でのギャップ $Δ > 0$ を用いて
$\frac{1}{g} = \int^{Λ} \frac{d ^{3} k}{( 2 π ) ^{3}} \frac{1}{k ^{2} + Δ ^{2}}$
で与えられるとする。さらに $L$ は $Δ L = 2 lo g \frac{5}{2}$ を満たすとする。自然単位系を用い、 $lo g$ は自然対数とする。
この系で、相関関数 $⟨ n (τ, r) \cdot n (τ, 0)⟩$ が $∣ r ∣ \to \infty$ で $e^{- ∣ r ∣/ ξ}$ （べき因子を除く）のように減衰するときの相関長 $ξ$ を定義する。比 $ξ / L$ を、正確な値（ $π$ と対数と根号を用いた式）で求めよ。