スケーリング則

記号を確認します。$t=(T-T_c)/T_c$、$h$ は外場で、臨界指数は $c\propto |t{|}^{-\alpha }$（比熱）、$m\propto (-t{)}^{\beta }$（$h=0,t<0$）、$\chi \propto |t{|}^{-\gamma }$、$m\propto h^{1/\delta }$（$t=0$）、相関長 $\xi \propto |t{|}^{-\nu }$、$T_c$ での相関関数 $G(r)=⟨s_0{s}_r⟩-⟨s{⟩}^2\propto r^{-(d-2+\eta )}$ で定義します。仮定は、自由エネルギー密度の特異な部分が $f(t,h)=|t{|}^{2-\alpha }\Phi (h/|t{|}^{\Delta })$（$\Phi$ は 1 変数の関数、$\Delta$ はギャップ指数）と書けることです。$h=0$ では $f\propto |t{|}^{2-\alpha }$ で、$t$ で 2 回微分すると比熱 $c\propto |t{|}^{-\alpha }$ となり、$\alpha$ の定義と合っています。

磁化と帯磁率は $h$ で微分して得られ、微分のたびに $\Phi$ の引数から $|t{|}^{-\Delta }$ が出ます: $m=-\partial f/\partial h=-|t{|}^{2-\alpha -\Delta }{\Phi }^{\prime }(x)$、$\chi =\partial m/\partial h=-|t{|}^{2-\alpha -2\Delta }{\Phi }^{\prime \prime }(x)$（$x=h/|t{|}^{\Delta }$）。$h\to 0$ で ${\Phi }^{\prime },{\Phi }^{\prime \prime }$ が有限の値に近づくとすれば、$\beta =2-\alpha -\Delta$、$\gamma =2\Delta -2+\alpha$ です。$\Delta$ を消去すると $\Delta =\beta +\gamma$ と
$$\alpha +2\beta +\gamma =2(\text{ラッシュブルック})$$
が得られます。一方 $t\to 0$（$h$ は一定）では $x\to \infty$ ですが、$T_c$ での磁化は有限で $t$ によらないはずなので、${\Phi }^{\prime }(x)\propto x^{\lambda }$ と振る舞い、$|t{|}^{\beta }(h/|t{|}^{\Delta }{)}^{\lambda }$ から $t$ が消える条件 $\beta =\lambda \Delta$ が必要です。すると $m\propto h^{\lambda }=h^{\beta /\Delta }$ で $\delta =\Delta /\beta$、これと $\Delta =\beta +\gamma$ から
$$\gamma =\beta (\delta -1)(\text{ウィドム})$$
となります。

残り 2 つは相関長を使う議論です。帯磁率は相関関数の空間積分 $\chi \propto \int d^{d}rG(r)$ に比例し、$T_c$ 近くでは $G(r)\propto r^{-(d-2+\eta )}$ が距離 $\xi$ 程度で打ち切られるので、$\chi \propto {\int }^{\xi }{r}^{d-1}{r}^{-(d-2+\eta )}dr\propto {\xi }^{2-\eta }\propto |t{|}^{-\nu (2-\eta )}$、すなわち $\gamma =\nu (2-\eta )$（フィッシャー）です。また、一辺 $\xi$ の領域がひとかたまりで揺らぎ、それぞれが $k_{B}T$ 程度の自由エネルギーを担うと考えると、特異な自由エネルギー密度は $f\propto {\xi }^{-d}\propto |t{|}^{d\nu }$ で、$|t{|}^{2-\alpha }$ と比べて $d\nu =2-\alpha$（ジョセフソン、ハイパースケーリング）が得られます。この最後の則だけは空間次元 $d$ を含み、ゆらぎを無視する平均場理論では $d=4$ でしか成り立ちません。