相転移と繰り込み群の問題

$d=4-ϵ$ 次元（$0<ϵ\ll 1$）の $n$ 成分 $\mathrm{O}(n)$ 模型
$$\mathcal{H}=\int d^{d}x\left[\frac{1}{2}(\nabla \mathbf{\varphi }{)}^2+\frac{r}{2}{\mathbf{\varphi }}^2+u({\mathbf{\varphi }}^2{)}^2\right]$$
に対し、運動量の切断を $\Lambda =1$ とする運動量殻の繰り込み群を 1 ループで行うと、スケールパラメータ $l=\log b$ に対する流れの方程式は
$$\frac{dr}{dl}=2r+\frac{4(n+2)\bar{u}}{1+r},\frac{d\bar{u}}{dl}=ϵ\bar{u}-\frac{4(n+8){\bar{u}}^2}{(1+r{)}^2}$$
となる。ここで $\bar{u}=K_{d}u$（$K_d$ は正の定数）である。

$n=2$ のとき、ウィルソン・フィッシャー固定点（${\bar{u}}^{\ast }>0$ の固定点）のまわりで流れを線形化し、相関長の臨界指数 $\nu$ を $ϵ$ の 1 次まで求めよ。

3 次元ユークリッド空間で、1 方向（$\tau$ 方向）だけを長さ $L$ でコンパクト化し、残りの 2 方向 $\mathbf{r}=(x,y)$ は無限に広い系（$S_L^1\times {\mathbb{R}}^2$）を考える。この上の $N$ 成分の実スカラー場 $\mathbf{n}(x)$（制約 $\mathbf{n}\cdot \mathbf{n}=1$）からなる $O(N)$ 非線形シグマ模型
$$S=\frac{N}{2g}\int d^{3}x\left[({\partial }_{\mu }\mathbf{n}{)}^2+i\lambda (x)\left(\mathbf{n}\cdot \mathbf{n}-1\right)\right]$$
を考える。ただし $\tau$ 方向には、すべての成分の符号を反転させる反周期的（ねじれ）境界条件
$$\mathbf{n}(\tau +L,\mathbf{r})=-\mathbf{n}(\tau ,\mathbf{r})$$
を課す（$\mathbf{n}\to -\mathbf{n}$ は $O(N)$ の元なので制約と作用を保つ）。

$N\to \infty$ の主要次数（鞍点近似）で扱う。鞍点では $i\lambda =m^2$（$m^2$ は実定数）となり、
$$⟨n_a(x)n_b(x^{\prime })⟩={\delta }_{ab}\frac{g}{N}G(x,x^{\prime }),G={\left(-{\partial }^2+m^2\right)}^{-1}$$
（$G$ は上の反周期的境界条件を満たすグリーン関数）で、$m^2$ は制約条件 $gG(x,x)=1$（ギャップ方程式）で決まる。運動量積分には 3 次元運動量に対する紫外カットオフ $\Lambda$ を入れ、$\Lambda L\to \infty$ の極限をとる。

結合定数 $g$ は無秩序相 $g>g_c$ にあり、無限系（$L\to \infty$）でのギャップ $\Delta >0$ を用いて
$$\frac{1}{g}={\int }^{\Lambda }\frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{k^2+{\Delta }^2}$$
で与えられるとする。さらに $L$ は $\Delta L=2\log \frac{5}{2}$ を満たすとする。自然単位系を用い、$\log$ は自然対数とする。

この系で、相関関数 $⟨\mathbf{n}(\tau ,\mathbf{r})\cdot \mathbf{n}(\tau ,0)⟩$ が $|\mathbf{r}|\to \infty$ で $e^{-|\mathbf{r}|/\xi }$（べき因子を除く）のように減衰するときの相関長 $\xi$ を定義する。比 $\xi /L$ を、正確な値（$\pi$ と対数と根号を用いた式）で求めよ。

$d$ 次元空間（$d$ は正の実数）の 1 成分の実スカラー場 $\varphi (\mathbf{x})$ に対するギンツブルグ・ランダウ・ウィルソンのハミルトニアン
$$\mathcal{H}[\varphi ]=\int d^{d}x\left[\frac{1}{2}(\nabla \varphi {)}^2+\frac{r}{2}{\varphi }^2+v{\varphi }^6\right]$$
を考える。運動量の切断を $\Lambda$ とし、運動量殻 $\Lambda /b<|\mathbf{k}|<\Lambda$（$b>1$）の積分・長さの再スケール $\mathbf{x}=b{\mathbf{x}}^{\prime }$・場の再スケールを行う繰り込み群変換を考える。場の再スケールは、勾配項の係数が $\frac{1}{2}$ のまま変わらないように決める。

ガウス固定点 $r=v=0$ のまわりで、結合定数 $v$ が $v^{\prime }=b^{y_v}v$ と変換されるとき、指数 $y_v$ を $d$ を用いて表せ。

一様な秩序変数 $m$（実数）をもつ系の単位体積あたりのランダウ自由エネルギーが、外場がないとき
$$f(T,m)=f_0(T)+\frac{a}{2}t{m}^2+\frac{b}{4}{m}^4,t=\frac{T-T_c}{T_c}$$
で与えられる。$a>0$, $b>0$ は温度によらない定数、$T_c>0$ は転移温度、$f_0(T)$ は $m$ によらない滑らかな関数である。熱平衡では $f$ が $m$ について最小となる値をとる。

単位体積あたりの比熱を $c=-T\frac{{\partial }^2{f}_{\text{eq}}}{\partial T^2}$（$f_{\text{eq}}$ は平衡での自由エネルギー）で定めるとき、転移点での比熱のとび
$$\Delta c=\underset{T\to T_c-0}{\lim }c-\underset{T\to T_c+0}{\lim }c$$
を $a$, $b$, $T_c$ を用いて表せ。

正方格子上の異方的な強磁性イジング模型
$$H=-J_x\sum _{⟨ij{⟩}_x}{\sigma }_i{\sigma }_j-J_y\sum _{⟨ij{⟩}_y}{\sigma }_i{\sigma }_j({\sigma }_i=\pm 1,J_x>0,J_y>0)$$
を考える。ここで $⟨ij{⟩}_x$, $⟨ij{⟩}_y$ はそれぞれ $x$ 方向・$y$ 方向の最近接対を表す。$K_x=\frac{J_x}{k_{B}T}$, $K_y=\frac{J_y}{k_{B}T}$ とおく（$k_B$ はボルツマン定数、$T$ は温度）。

この模型の相転移の温度で $K_x=\frac{1}{2}\log 2$ であった。このときの $K_y$ を、対数を用いた正確な形で求めよ。ただし、熱力学極限での臨界条件はオンサーガーの結果 $\sinh 2K_x\sinh 2K_y=1$ で与えられることを用いてよい。