運動量殻の繰り込み群とガウス固定点

ギンツブルグ・ランダウ・ウィルソンのハミルトニアンで運動量殻 $Λ/ b < k < Λ$ を積分し、場の再スケールから結合定数の次元 $y_{r} = 2$ 、 $y_{u} = 4 - d$ などを求め、ガウス固定点の安定性と上部臨界次元を判定できる

前提

繰り込み群の固有値と臨界指数（大学院物理相転移と繰り込み群）
ガウス積分（大学数学微分積分）
フーリエ変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

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算数中学高校大学大学院

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小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
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おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
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三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
ボイル・シャルルの法則（高校物理熱と気体）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
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三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
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慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
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静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
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多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
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直線的な過程での吸熱と放熱の切りかわり（高校物理熱と気体）
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カルノーサイクル（大学物理熱力学）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
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熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
ボイル・シャルルの法則と理想気体（高校物理熱と気体（知識））
気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））
熱機関と熱効率（高校物理熱と気体（知識））
可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））
カルノーの定理と効率・成績係数の上限（大学物理熱力学）
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
可逆過程のエントロピー変化（大学物理熱力学）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
同じものを含む順列・重複組合せ（数学A 場合の数と確率）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
ミクロカノニカル分布とボルツマンのエントロピー（大学物理統計力学）
カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
部分和による有効結合（デコレーション・デシメーション）（大学院物理相転移と繰り込み群）
実空間繰り込み群（デシメーション）の固定点（大学院物理相転移と繰り込み群）
熱力学関数と自然な変数（大学物理熱力学）
分配関数から求める自由エネルギー・エントロピー・熱容量（大学物理統計力学）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）
ランダウ理論と平均場の臨界指数（大学院物理相転移と繰り込み群）
スケーリング則（大学院物理相転移と繰り込み群）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
繰り込み群の固有値と臨界指数（大学院物理相転移と繰り込み群）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
広義積分（大学数学微分積分）
ガウス積分（大学数学微分積分）
三角関数の積分（数学III 積分法）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
フーリエ変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

説明

連続な秩序変数の場 $ϕ (x)$ で書いたギンツブルグ・ランダウ・ウィルソンのハミルトニアン $β H = \int d^{d} x [\frac{K}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{r}{2} ϕ^{2} + u ϕ^{4} - h ϕ]$ について、波数の大きい成分（運動量殻 $Λ/ b < k < Λ$ ）を積分して消し、長さと場の大きさを再スケールする繰り込み群を実行できるようになります。相互作用のないガウス固定点 $r = u = h = 0$ のまわりでは、各結合定数の固有値の指数が場の再スケールだけから $y_{r} = 2$ 、 $y_{h} = 1 + \frac{d}{2}$ 、 $y_{u} = 4 - d$ のように決まります。これにより、 $ϕ^{4}$ 項が relevant か irrelevant かを判定し、平均場理論（ランダウ理論）の臨界指数が正しくなる次元の境目（上部臨界次元 $d_{c} = 4$ ）を求められます。

なぜそうしてよいのか

場をフーリエ変換 $ϕ (x) = \int \frac{d ^{d} k}{( 2 π ) ^{d}} e^{i k \cdot x} ϕ (k)$ で表すと、微分がかけ算 $\nabla \to i k$ に変わるので、2 次の部分は $β H_{0} = \int_{k < Λ} \frac{d ^{d} k}{( 2 π ) ^{d}} \frac{1}{2} (K k^{2} + r) ∣ ϕ (k) ∣^{2}$ と、異なる波数どうしが結合しない形になります（ $Λ$ は格子間隔の逆数程度の上限）。場を $ϕ = ϕ_{<} + ϕ_{>}$ （ $ϕ_{<}$ は $k < Λ/ b$ 、 $ϕ_{>}$ は殻 $Λ/ b < k < Λ$ の成分）に分けると、 $u = 0$ では $e^{- β H_{0}}$ は $ϕ_{<}$ の部分と $ϕ_{>}$ の部分の積に分かれ、 $ϕ_{>}$ についての積分はガウス積分で、 $ϕ_{<}$ によらない定数を出すだけです。つまりガウス固定点のまわりでは、殻を積分しても残った場のハミルトニアンの形も係数も変わりません（ $u \neq = 0$ では $ϕ^{4}$ 項が $ϕ_{<}$ と $ϕ_{>}$ を結びつけ、 $r$ などに $u$ に比例する補正が加わりますが、これは $u$ の 1 次で $r$ に $u$ が混ざるだけで、固定点 $r = u = 0$ での線形化行列は三角行列になり、固有値は下で求める値のままです）。

変わるのは、カットオフが $Λ/ b$ に下がったことだけです。元と同じ形に戻すため、 $k = k^{'} / b$ （長さでは $x = b x^{'}$ ）と目盛りを付け替え、さらに場を $ϕ_{<} (k) = z ϕ^{'} (k^{'})$ と再スケールします。2 次の項は $\int d^{d} k (K k^{2} + r) ∣ ϕ ∣^{2} = b^{- d} z^{2} \int d^{d} k^{'} (K b^{- 2} k^{'2} + r) ∣ ϕ^{'} ∣^{2}$ となるので、勾配の項の係数 $K$ を一定に保つ条件 $b^{- d - 2} z^{2} = 1$ から $z = b^{1 + d /2}$ と決まります。すると $r^{'} = b^{- d} z^{2} r = b^{2} r$ で $y_{r} = 2$ 。 $ϕ^{4}$ 項は 3 つの独立な波数の積分（4 つ目は波数の和が 0 の条件で決まる）と 4 つの場をもつので $u^{'} = b^{- 3 d} z^{4} u = b^{4 - d} u$ 、 $y_{u} = 4 - d$ 。外場は $k = 0$ の成分にだけ掛かるので $h^{'} = z h$ 、 $y_{h} = 1 + \frac{d}{2}$ です。実空間で $ϕ (x) = b^{1 - d /2} ϕ^{'} (x^{'})$ と置いても同じ結果になり、一般に $ϕ^{n}$ の項の指数は $y_{n} = d - n (\frac{d}{2} - 1)$ です。

$y_{r} = 2 > 0$ なので $r$ （温度のずれ $t$ に比例）は常に relevant で、 $ν = 1/ y_{r} = \frac{1}{2}$ 、 $η = d + 2 - 2 y_{h} = 0$ 、 $γ = (2 y_{h} - d) / y_{r} = 1$ と平均場の値が出ます。一方 $y_{u} = 4 - d$ は、 $d > 4$ では負（irrelevant）でガウス固定点は $u$ に対して安定、平均場の指数が正しい臨界の振る舞いになります。 $d < 4$ では正（relevant）で、少しでも $u$ があるとガウス固定点から離れていくので、臨界の振る舞いは別の固定点で決まり平均場からずれます。その境目 $d_{c} = 4$ （ $y_{u} = 0$ 、marginal）が上部臨界次元です。

手順

ハミルトニアンをフーリエ成分で書き、場を $ϕ_{<}$ （ $k < Λ/ b$ ）と $ϕ_{>}$ （ $Λ/ b < k < Λ$ ）に分ける。ガウス固定点のまわりでは $ϕ_{>}$ の積分は定数を出すだけであることを確かめる。
$k = k^{'} / b$ と目盛りを付け替え、場を $ϕ_{<} (k) = z ϕ^{'} (k^{'})$ と再スケールする。
勾配項の係数 $K$ が変わらない条件 $b^{- d - 2} z^{2} = 1$ から $z = b^{1 + d /2}$ を決める（実空間では $ϕ (x) = b^{1 - d /2} ϕ^{'} (x^{'})$ ）。
各項について、独立な波数積分 1 つにつき $b^{- d}$ 、場 1 つにつき $z$ を掛けて新しい係数を求め、 $b^{y}$ の指数を読む。 $ϕ^{n}$ の項（独立な積分 $n - 1$ 個）なら $y_{n} = - (n - 1) d + n (1 + \frac{d}{2}) = d - n (\frac{d}{2} - 1)$ 。
$y > 0$ なら relevant、 $y < 0$ なら irrelevant、 $y = 0$ なら marginal と判定し、 $y = 0$ となる次元を上部臨界次元とする。

例題

$d$ 次元のギンツブルグ・ランダウ・ウィルソンのハミルトニアン
$β H = \int d^{d} x [\frac{K}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{r}{2} ϕ^{2} + v ϕ^{6}]$
を考える（三重臨界点の近くを想定し、 $ϕ^{4}$ 項は 0 に調整されているとする）。運動量殻 $Λ/ b < k < Λ$ を積分し、 $k = k^{'} / b$ と目盛りを付け替え、 $K$ が変わらないように場を再スケールする繰り込み変換を考える。ガウス固定点 $r = v = 0$ のまわりで $v^{'} = b^{y_{v}} v$ と書くときの $y_{v}$ （ $d$ の式）と、 $v$ が marginal になる次元 $d$ をこの順に求めよ。

例題の解答

手順 1: $v = 0$ のガウス固定点では異なる波数の成分は結合しないので、殻の成分 $ϕ_{>}$ の積分は定数を出すだけで、残った場の係数は変わらない。

手順 2・3: $k = k^{'} / b$ 、 $ϕ_{<} (k) = z ϕ^{'} (k^{'})$ とすると、勾配項は $b^{- d} \cdot z^{2} \cdot b^{- 2}$ 倍になるので、 $K$ を保つには $z = b^{1 + d /2}$ 。

手順 4: $ϕ^{6}$ 項はフーリエ成分で書くと 6 つの場と、波数の和が 0 の条件のもとでの 5 つの独立な波数積分をもつ。よって
$v^{'} = b^{- 5 d} z^{6} v = b^{- 5 d} b^{6 + 3 d} v = b^{6 - 2 d} v, y_{v} = 6 - 2 d .$
（実空間でも $ϕ = b^{1 - d /2} ϕ^{'}$ 、 $d^{d} x = b^{d} d^{d} x^{'}$ より $b^{d} \cdot b^{6 (1 - d /2)} = b^{6 - 2 d}$ と同じ。）

手順 5: $y_{v} = 6 - 2 d = 0$ より $d = 3$ 。 $d > 3$ では $v$ は irrelevant、 $d < 3$ では relevant で、三重臨界点の上部臨界次元は $3$ である。

答え: $(6 - 2 d, 3)$

よくある誤り

場を再スケールせずに、目盛りの付け替えだけで指数を数えてしまう誤り。そうすると勾配項の係数が $K^{'} = b^{- d - 2} K$ と変わってしまい、元と同じ形に戻らない。正しくは $K$ を固定する $z = b^{1 + d /2}$ （実空間で $ζ = b^{1 - d /2}$ ）を入れ、 $u^{'} = b^{- 3 d} z^{4} u = b^{4 - d} u$ 。
$ϕ^{4}$ 項の波数積分を 4 つと数えて $u^{'} = b^{- 4 d} z^{4} u = b^{4 - 2 d} u$ としてしまう誤り。4 つの波数は和が 0 という条件で結ばれているので独立な積分は 3 つで、正しくは $y_{u} = - 3 d + 4 (1 + \frac{d}{2}) = 4 - d$ 。
relevant と irrelevant を逆に判定し、「 $d > 4$ で $u$ が効く」としてしまう誤り。 $u^{'} = b^{4 - d} u$ で $b > 1$ なので、 $d > 4$ では変換のたびに $u$ が小さくなる（irrelevant、平均場が正しい）。 $d < 4$ では大きくなり（relevant）、平均場からずれる。
$d > 4$ でもガウス固定点の指数をすべての臨界指数にそのまま当てはめ、 $α = 2 - d / y_{r} = 2 - \frac{d}{2}$ や $β = (d - y_{h}) / y_{r} = \frac{d - 2}{4}$ を平均場の値と思ってしまう誤り。 $ν = \frac{1}{2}, η = 0, γ = 1$ はそのまま正しいが、自由エネルギーや磁化は $u$ が 0 だと定まらない量なので、 $u$ が irrelevant でも結果に効き、 $d > 4$ では平均場の値 $α = 0, β = \frac{1}{2}$ になる（ $d = 4$ でだけ両者は一致する）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$d$ 次元空間（ $d$ は正の実数）の 1 成分の実スカラー場 $ϕ (x)$ に対するギンツブルグ・ランダウ・ウィルソンのハミルトニアン
$H [ϕ] = \int d^{d} x [\frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{r}{2} ϕ^{2} + v ϕ^{6}]$
を考える。運動量の切断を $Λ$ とし、運動量殻 $Λ/ b < ∣ k ∣ < Λ$ （ $b > 1$ ）の積分・長さの再スケール $x = b x^{'}$ ・場の再スケールを行う繰り込み群変換を考える。場の再スケールは、勾配項の係数が $\frac{1}{2}$ のまま変わらないように決める。
ガウス固定点 $r = v = 0$ のまわりで、結合定数 $v$ が $v^{'} = b^{y_{v}} v$ と変換されるとき、指数 $y_{v}$ を $d$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
$d = 4 - ϵ$ 次元の $n$ 成分実スカラー場 $ϕ_{a} (x)$ $(a = 1, \dots, n)$ に対する、次のランダウ・ギンツブルグ・ウィルソン型のハミルトニアン（ボルツマン因子は $e^{- H}$ ）を考える。
$H = \int d^{d} x \frac{1}{2} a \sum (\nabla ϕ_{a})^{2} + \frac{r}{2} a \sum ϕ_{a}^{2} + \frac{1}{2} a, b \sum g_{ab} ϕ_{a} ϕ_{b} + u (a \sum ϕ_{a}^{2})^{2}$
ここで $n \geq 2$ は整数、 $r, u$ は実数で $u > 0$ 、 $g_{ab}$ は実対称かつトレースが $0$ （ $\sum_{a} g_{aa} = 0$ ）の行列で、 $O (n)$ 対称性を破る 2 次の異方性を表す。運動量の切断を $Λ$ とする。
$g_{ab} = 0$ のときのウィルソン・フィッシャー固定点のまわりで、 $r$ に対応する繰り込み群の固有値を $y_{t}$ 、 $g_{ab}$ に対応する固有値を $y_{g}$ とし、クロスオーバー指数を $Φ = y_{g} / y_{t}$ （ $= y_{g} ν$ ）で定義する。運動量殻を積分する繰り込み群を 1 ループで扱い、 $Φ$ を $ϵ$ の 1 次まで求めよ（答えは $n, ϵ$ の式で、 $ϵ^{2}$ 以上の項は書かない）。

この技能の次に学べること

O(n) 模型の ε 展開（大学院物理相転移と繰り込み群）