O(n) 模型の ε 展開

$d = 4 - ϵ$ で 1 ループの繰り込み群方程式を作り、ウィルソン・フィッシャー固定点 $u^{*} \propto \frac{ϵ}{n + 8}$ を求め、 $ν = \frac{1}{2} + \frac{n + 2}{4 ( n + 8 )} ϵ$ や異方性の摂動の固有値・クロスオーバー指数を $ϵ$ の 1 次まで求められる

前提

運動量殻の繰り込み群とガウス固定点（大学院物理相転移と繰り込み群）

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算数中学高校大学大学院

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四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
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乗法公式による展開（中学数学数と式）
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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
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比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
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剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
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関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
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おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
ボイル・シャルルの法則（高校物理熱と気体）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
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三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
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二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
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力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
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力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
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静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
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等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）
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基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
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実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
ボイル・シャルルの法則と理想気体（高校物理熱と気体（知識））
気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））
熱機関と熱効率（高校物理熱と気体（知識））
可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））
カルノーの定理と効率・成績係数の上限（大学物理熱力学）
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
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和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
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偏微分と全微分（大学数学微分積分）
ミクロカノニカル分布とボルツマンのエントロピー（大学物理統計力学）
カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
部分和による有効結合（デコレーション・デシメーション）（大学院物理相転移と繰り込み群）
実空間繰り込み群（デシメーション）の固定点（大学院物理相転移と繰り込み群）
熱力学関数と自然な変数（大学物理熱力学）
分配関数から求める自由エネルギー・エントロピー・熱容量（大学物理統計力学）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）
ランダウ理論と平均場の臨界指数（大学院物理相転移と繰り込み群）
スケーリング則（大学院物理相転移と繰り込み群）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
繰り込み群の固有値と臨界指数（大学院物理相転移と繰り込み群）
置換積分（数学III 積分法）
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定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
広義積分（大学数学微分積分）
ガウス積分（大学数学微分積分）
三角関数の積分（数学III 積分法）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
フーリエ変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
運動量殻の繰り込み群とガウス固定点（大学院物理相転移と繰り込み群）

説明

$n$ 成分の場 $ϕ = (ϕ_{1}, \dots, ϕ_{n})$ をもつ O( $n$ ) 模型について、次元を $d = 4 - ϵ$ と置き、運動量殻の繰り込み群を 1 ループ（ $u$ について 2 次まで）で書きます。すると、 $d < 4$ で不安定になるガウス固定点の代わりに、 $u^{*} \propto \frac{ϵ}{n + 8}$ の非自明な固定点（ウィルソン・フィッシャー固定点）が現れます。そのまわりで流れの方程式を線形化して固有値を求めると、相関長の指数 $ν$ や異方性の摂動のクロスオーバー指数を $ϵ$ の 1 次まで計算できます。3 次元のイジング（ $n = 1$ ）・XY（ $n = 2$ ）・ハイゼンベルク（ $n = 3$ ）の臨界指数を見積もる標準的な方法です。

なぜそうしてよいのか

ハミルトニアンを $β H = \int d^{d} x [\frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{r}{2} ϕ^{2} + u (ϕ^{2})^{2}]$ とします（ $ϕ^{2} = \sum_{i} ϕ_{i} ϕ_{i}$ ）。ガウス固定点では $y_{u} = 4 - d = ϵ$ なので、 $d < 4$ では $u$ が関連（relevant）になり、ガウス固定点は不安定です。 $u$ の 1 次だけでは $u$ はどこまでも増えるので、 $u^{2}$ の項まで計算すると $u$ の成長を止める項が出て、新しい固定点が $u^{*} = O (ϵ)$ に現れます。 $ϵ$ が小さければ $u^{*}$ も小さいので、 $u$ の低次の展開が正当化されます。これが $ϵ$ 展開の考え方です。

場を殻の外 $ϕ^{<}$ と殻 $Λ/ b < k < Λ$ （ $b = e^{δ l}$ ）の成分 $ϕ^{>}$ に分けます。殻の場はガウス分布で $⟨ ϕ_{a}^{>} ϕ_{b}^{>} ⟩ = δ_{ab} G$ 、 $G = \frac{1}{k ^{2} + r}$ です（外線の運動量は 0 と近似します）。4 次の項 $(ϕ^{2})^{2} = ϕ_{i} ϕ_{i} ϕ_{j} ϕ_{j}$ の 4 本の足から 2 本を殻の場に選ぶ 6 通りのうち、同じ組（ $ϕ_{i} ϕ_{i}$ か $ϕ_{j} ϕ_{j}$ ）を選ぶ 2 通りは $(ϕ^{>})^{2} (ϕ^{<})^{2}$ 、違う組から 1 本ずつ選ぶ 4 通りは $(ϕ^{<} \cdot ϕ^{>})^{2}$ を与えます。まとめると、殻の場を 2 本含む部分は
$V_{2} = u A_{ab} ϕ_{a}^{>} ϕ_{b}^{>}, A_{ab} = 2 (ϕ^{<})^{2} δ_{ab} + 4 ϕ_{a}^{<} ϕ_{b}^{<}$
です。殻の場を積分すると $β H$ に $⟨ V ⟩ - \frac{1}{2} (⟨ V^{2} ⟩ - ⟨ V ⟩^{2}) + \dots$ が加わります。

1 次: $⟨ V_{2} ⟩ = u \sum_{a} A_{aa} \int_{shell} G = u (2 n + 4) (ϕ^{<})^{2} \int_{shell} G$ 。 $\frac{r}{2} ϕ^{2}$ と比べて $δ r = 4 (n + 2) u \int_{shell} G$ 。 $n$ は $δ_{aa}$ の和から出ます。

2 次（連結項）: 2 つの $V_{2}$ の殻の場どうしをつなぐと、つなぎ方は 2 通りで $⟨ V_{2} V_{2} ⟩_{c} = 2 u^{2} \sum_{a, b} A_{ab} A_{ab} \int_{shell} G^{2}$ 。ここで
$a, b \sum A_{ab} A_{ab} = δ_{ab} δ_{ab} = n 4 n (ϕ^{<})^{4} + 交差項 2 \cdot 2 \cdot 4 (ϕ^{<})^{4} + (ϕ_{a} ϕ_{b})^{2} 16 (ϕ^{<})^{4} = 4 (n + 8) (ϕ^{<})^{4}$
です。添字の和が自由に回って $n$ を生むのは $δ_{ab} δ_{ab}$ の項だけで（係数 $4 n$ ）、残りの組合せは $n$ を生まず $32$ を与えます。 $- \frac{1}{2}$ を掛けて $δ u = - 4 (n + 8) u^{2} \int_{shell} G^{2}$ 。殻の積分は $δ l$ の 1 次で $\int_{shell} G = \frac{K _{d} Λ ^{d} δ l}{Λ ^{2} + r}$ 、 $\int_{shell} G^{2} = \frac{K _{d} Λ ^{d} δ l}{( Λ ^{2} + r ) ^{2}}$ （ $K_{d}$ は $d$ 次元の単位球面の面積を $(2 π)^{d}$ で割った数）です。これに場の再スケール（ $y_{r} = 2, y_{u} = ϵ$ 。この次数では場の異常次元は 0）を合わせて
$\frac{d r}{d l} = 2 r + \frac{4 ( n + 2 ) K _{d} Λ ^{d} u}{Λ ^{2} + r}, \frac{d u}{d l} = ϵ u - \frac{4 ( n + 8 ) K _{d} Λ ^{d} u ^{2}}{( Λ ^{2} + r ) ^{2}}$
となります。

固定点 $(r^{*}, u^{*})$ のまわりで $δ r, δ u$ を微小とすると、流れは 2 行 2 列の行列で書け、その固有値が繰り込み群の固有値です。 $u^{*} \neq = 0$ なので $\frac{d r}{d l}$ の $u$ を含む項を $r$ で微分した量が 0 にならず、 $r$ の固有値が 2 からずれます。このずれが $ν$ を平均場の $\frac{1}{2}$ から動かします。

手順

$Λ = 1$ とし、 $u ˉ = K_{d} u$ と置いて流れの方程式を書く: $\frac{d r}{d l} = 2 r + \frac{4 ( n + 2 ) u ˉ}{1 + r}$ 、 $\frac{d u ˉ}{d l} = ϵ u ˉ - \frac{4 ( n + 8 ) u ˉ ^{2}}{( 1 + r ) ^{2}}$ 。
固定点を求める: $\frac{d u ˉ}{d l} = 0$ で $u ˉ \neq = 0$ の解を取り、 $ϵ$ の 1 次で $u ˉ^{*} = \frac{ϵ}{4 ( n + 8 )}$ 。これを $\frac{d r}{d l} = 0$ に入れて $r^{*} = - 2 (n + 2) u ˉ^{*} = - \frac{( n + 2 ) ϵ}{2 ( n + 8 )}$ 。 $u ˉ^{*} > 0$ になるのは $ϵ > 0$ （ $d < 4$ ）のとき。
固定点で線形化する: $\frac{d}{d l} (δ r δ u ˉ) = (2 - 4 (n + 2) u ˉ^{*} O (ϵ^{2}) \frac{4 ( n + 2 )}{1 + r ^{*}} ϵ - 8 (n + 8) u ˉ^{*}) (δ r δ u ˉ)$ （対角成分は $ϵ$ の 1 次まで）。左下が $O (ϵ^{2})$ なので、 $ϵ$ の 1 次では行列は上三角で、固有値は対角成分で読める。
固有値を求める: $y_{r} = 2 - \frac{( n + 2 ) ϵ}{n + 8} > 0$ （関連方向。温度のずれに対応し、固定点から離れる向きの方向が 1 つある）、 $y_{u} = - ϵ < 0$ （ $u$ の方向は非関連（irrelevant）で、固定点は $u$ の方向、つまり臨界面内では安定）。 $ν = 1/ y_{r}$ を $ϵ$ について 1 次まで展開して $ν = \frac{1}{2} + \frac{( n + 2 ) ϵ}{4 ( n + 8 )}$ 。
異方性の摂動（ $n \geq 2$ のときだけ意味がある）: 跡のない対称行列 $g_{ab}$ （ $\sum_{a} g_{aa} = 0$ 。例 $g_{ab} = g diag (1, - \frac{1}{n - 1}, \dots, - \frac{1}{n - 1})$ ）で $\frac{1}{2} g_{ab} ϕ_{a} ϕ_{b}$ を加える。殻の伝播関数は $G_{ab} = [(k^{2} + r) δ_{ab} + g_{ab}]^{- 1} \approx \frac{δ _{ab}}{k ^{2} + r} - \frac{g _{ab}}{( k ^{2} + r ) ^{2}}$ 。1 次の寄与 $u \sum_{a, b} A_{ab} G_{ab} = u [2 (ϕ^{<})^{2} \sum_{c} G_{cc} + 4 ϕ_{a}^{<} G_{ab} ϕ_{b}^{<}]$ のうち、 $\sum_{c} G_{cc} = \frac{n}{k ^{2} + r}$ には $g$ が入らない（跡が 0）ので、 $g$ を含むのは $4 ϕ_{a} G_{ab} ϕ_{b}$ の項だけで $- 4 u g_{ab} ϕ_{a} ϕ_{b} \int_{shell} \frac{1}{( k ^{2} + r ) ^{2}}$ 。 $\frac{1}{2} g_{ab} ϕ_{a} ϕ_{b}$ と比べて $\frac{d g}{d l} = (2 - \frac{8 u ˉ}{( 1 + r ) ^{2}}) g$ 。固定点で $y_{g} = 2 - 8 u ˉ^{*} = 2 - \frac{2 ϵ}{n + 8}$ 。
クロスオーバー指数を $φ_{c} = \frac{y _{g}}{y _{r}}$ と定義し（場 $ϕ$ と区別するため $φ_{c}$ と書く）、 $ϵ$ の 1 次まで展開する: $φ_{c} = \frac{1 - \frac{ϵ}{n + 8}}{1 - \frac{( n + 2 ) ϵ}{2 ( n + 8 )}} = 1 + \frac{n ϵ}{2 ( n + 8 )}$ 。

例題

$n = 2$ の O( $n$ ) 模型の 1 ループの繰り込み群方程式が、 $d = 4 - ϵ$ 、 $Λ = 1$ 、 $u ˉ = K_{d} u$ として
$\frac{d r}{d l} = 2 r + \frac{4 ( n + 2 ) u ˉ}{1 + r}, \frac{d u ˉ}{d l} = ϵ u ˉ - \frac{4 ( n + 8 ) u ˉ ^{2}}{( 1 + r ) ^{2}}$
で与えられている。ウィルソン・フィッシャー固定点のまわりで線形化して $r$ の方向の固有値 $y_{r}$ を $ϵ$ の 1 次まで求め、 $ν = 1/ y_{r}$ を $ϵ$ について 1 次まで展開した式を作る。その式に $ϵ = 1$ （ $d = 3$ ）を代入した $ν$ の値を、既約分数で求めよ。

例題の解答

手順 1: $n = 2$ を入れると $\frac{d r}{d l} = 2 r + \frac{16 u ˉ}{1 + r}$ 、 $\frac{d u ˉ}{d l} = ϵ u ˉ - \frac{40 u ˉ ^{2}}{( 1 + r ) ^{2}}$ 。

手順 2: $u ˉ \neq = 0$ の固定点は $ϵ = \frac{40 u ˉ ^{*}}{( 1 + r ^{*} ) ^{2}}$ 。 $r^{*} = O (ϵ)$ なので $ϵ$ の 1 次では $u ˉ^{*} = \frac{ϵ}{40}$ 。また $r^{*} = - 8 u ˉ^{*} = - \frac{ϵ}{5}$ 。

手順 3: $\frac{\partial}{\partial r} (\frac{d r}{d l}) = 2 - \frac{16 u ˉ}{( 1 + r ) ^{2}}$ を固定点で $ϵ$ の 1 次まで評価すると $2 - 16 u ˉ^{*} = 2 - \frac{16 ϵ}{40} = 2 - \frac{2 ϵ}{5}$ 。 $\frac{\partial}{\partial r} (\frac{d u ˉ}{d l}) = \frac{80 u ˉ ^{* 2}}{( 1 + r ^{*} ) ^{3}} = O (ϵ^{2})$ なので、行列は $ϵ$ の 1 次で上三角になる。

手順 4: 固有値は $y_{r} = 2 - \frac{2 ϵ}{5}$ （公式 $2 - \frac{( n + 2 ) ϵ}{n + 8} = 2 - \frac{4 ϵ}{10}$ と一致）。
$ν = \frac{1}{2 - \frac{2 ϵ}{5}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{ϵ}{5}} = \frac{1}{2} + \frac{ϵ}{10} + O (ϵ^{2})$
$ϵ = 1$ を代入して $ν = \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{3}{5}$ 。

答え: $\frac{3}{5}$

よくある誤り

$ν = 1/ y_{r}$ の展開で $\frac{1}{2 - a ϵ} \approx \frac{1}{2} + \frac{a ϵ}{2}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{1}{2 - a ϵ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - a ϵ /2} \approx \frac{1}{2} + \frac{a ϵ}{4}$ で、 $a = \frac{n + 2}{n + 8}$ から $ν = \frac{1}{2} + \frac{( n + 2 ) ϵ}{4 ( n + 8 )}$ 。また、展開せずに $1/ y_{r}$ に $ϵ = 1$ を入れた値（ $n = 2$ なら $\frac{5}{8}$ ）は、展開した式の値（ $\frac{3}{5}$ ）とは違う。どちらを求めるか問題の指定に従う。
線形化のとき $\frac{d r}{d l}$ の $\frac{4 ( n + 2 ) u ˉ}{1 + r}$ を $r$ で微分するのを忘れ、 $y_{r} = 2$ （ガウス固定点と同じ）としてしまう誤り。正しくは $u ˉ^{*} \neq = 0$ なので $- 4 (n + 2) u ˉ^{*}$ が加わり $y_{r} = 2 - \frac{( n + 2 ) ϵ}{n + 8}$ 。
$r$ の流れの係数 $n + 2$ と $u$ の流れの係数 $n + 8$ を取り違え、 $u ˉ^{*} = \frac{ϵ}{4 ( n + 2 )}$ などとしてしまう誤り。正しくは $u$ の 2 次の項の係数 $4 (n + 8)$ （ $\sum A_{ab} A_{ab} = 4 n + 32$ の数え上げ）から $u ˉ^{*} = \frac{ϵ}{4 ( n + 8 )}$ で、 $y_{r}$ のずれは $\frac{n + 2}{n + 8} ϵ$ になる。
2 次の異方性の固有値に等方的な $r$ と同じずれを使い、 $y_{g} = 2 - \frac{( n + 2 ) ϵ}{n + 8}$ （クロスオーバー指数 $φ_{c} = 1$ ）としてしまう誤り。跡のない $g_{ab}$ は $δ_{ab} \sum_{c} G_{cc}$ 型の寄与（ $n$ を生む項）には入らず、 $4 ϕ_{a} G_{ab} ϕ_{b}$ 型の寄与だけが効くので、正しくは $y_{g} = 2 - \frac{2 ϵ}{n + 8}$ 、 $φ_{c} = 1 + \frac{n ϵ}{2 ( n + 8 )}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$d = 4 - ϵ$ 次元（ $0 < ϵ ≪ 1$ ）の $n$ 成分 $O (n)$ 模型
$H = \int d^{d} x [\frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{r}{2} ϕ^{2} + u (ϕ^{2})^{2}]$
に対し、運動量の切断を $Λ = 1$ とする運動量殻の繰り込み群を 1 ループで行うと、スケールパラメータ $l = lo g b$ に対する流れの方程式は
$\frac{d r}{d l} = 2 r + \frac{4 ( n + 2 ) u ˉ}{1 + r}, \frac{d u ˉ}{d l} = ϵ u ˉ - \frac{4 ( n + 8 ) u ˉ ^{2}}{( 1 + r ) ^{2}}$
となる。ここで $u ˉ = K_{d} u$ （ $K_{d}$ は正の定数）である。
$n = 2$ のとき、ウィルソン・フィッシャー固定点（ $u ˉ^{*} > 0$ の固定点）のまわりで流れを線形化し、相関長の臨界指数 $ν$ を $ϵ$ の 1 次まで求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
$d = 4 - ϵ$ 次元の $n$ 成分実スカラー場 $ϕ_{a} (x)$ $(a = 1, \dots, n)$ に対する、次のランダウ・ギンツブルグ・ウィルソン型のハミルトニアン（ボルツマン因子は $e^{- H}$ ）を考える。
$H = \int d^{d} x \frac{1}{2} a \sum (\nabla ϕ_{a})^{2} + \frac{r}{2} a \sum ϕ_{a}^{2} + \frac{1}{2} a, b \sum g_{ab} ϕ_{a} ϕ_{b} + u (a \sum ϕ_{a}^{2})^{2}$
ここで $n \geq 2$ は整数、 $r, u$ は実数で $u > 0$ 、 $g_{ab}$ は実対称かつトレースが $0$ （ $\sum_{a} g_{aa} = 0$ ）の行列で、 $O (n)$ 対称性を破る 2 次の異方性を表す。運動量の切断を $Λ$ とする。
$g_{ab} = 0$ のときのウィルソン・フィッシャー固定点のまわりで、 $r$ に対応する繰り込み群の固有値を $y_{t}$ 、 $g_{ab}$ に対応する固有値を $y_{g}$ とし、クロスオーバー指数を $Φ = y_{g} / y_{t}$ （ $= y_{g} ν$ ）で定義する。運動量殻を積分する繰り込み群を 1 ループで扱い、 $Φ$ を $ϵ$ の 1 次まで求めよ（答えは $n, ϵ$ の式で、 $ϵ^{2}$ 以上の項は書かない）。