ワイスの分子場近似

イジング模型などで隣接スピンを平均値で置き換えて自己無撞着方程式 $m = tanh β (z J m + h)$ を作り、転移温度 $k_{B} T_{c} = z J$ や臨界点近傍の磁化・帯磁率のふるまいを求められる

前提

常磁性体の磁化と磁化率（大学物理統計力学）
ランダウ理論と平均場の臨界指数（大学院物理相転移と繰り込み群）

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算数中学高校大学大学院

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常磁性体の磁化と磁化率（大学物理統計力学）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）
ランダウ理論と平均場の臨界指数（大学院物理相転移と繰り込み群）

説明

互いに相互作用するスピンの系（イジング模型など）を、各スピンが「まわりのスピンの平均がつくる磁場（分子場）」の中にある独立な常磁性スピンとみなして近似的に解けるようになります。その結果、磁化 $m$ が自分自身を決める自己無撞着方程式 $m = tanh β (z J m + h)$ が得られ、これから転移温度 $k_{B} T_{c} = z J$ 、 $T_{c}$ 直下での自発磁化 $m \propto (T_{c} - T)^{1/2}$ 、 $T_{c}$ 上でのキュリー・ワイス則 $χ \propto 1/ (T - T_{c})$ などを求められます。強磁性転移を最初に見積もるときの標準的な方法です。

なぜそうしてよいのか

イジング模型 $H = - J \sum_{⟨ ij ⟩} s_{i} s_{j} - h \sum_{i} s_{i}$ （ $s_{i} = \pm 1$ 、 $\sum_{⟨ ij ⟩}$ は隣接する組についての和、 $J > 0$ ）で、あるスピン $s_{i}$ が関わる項だけを取り出すと $- s_{i} (J \sum_{j \in i の隣} s_{j} + h)$ です。つまり $s_{i}$ は「磁場」 $J \sum_{j} s_{j} + h$ の中にあります。この磁場は隣のスピンの値によってゆらぎますが、そのゆらぎを無視して各 $s_{j}$ を平均値 $m = ⟨ s_{j} ⟩$ に置き換えると、隣接数を $z$ として $s_{i}$ は一定の有効磁場 $h_{eff} = z J m + h$ の中の孤立したスピンになります。

孤立したスピン $\pm 1$ が磁場 $h_{eff}$ の中にあるとき、その平均は 2 準位系のカノニカル分布から $⟨ s ⟩ = \frac{e ^{β h_{eff}} - e ^{- β h_{eff}}}{e ^{β h_{eff}} + e ^{- β h_{eff}}} = tanh β h_{eff}$ です（ $tanh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}$ 、 $β = 1/ k_{B} T$ ）。すべてのスピンは同等なので、この $⟨ s ⟩$ ははじめに仮定した $m$ と一致しなければなりません。こうして $m = tanh β (z J m + h)$ という、 $m$ を自分自身で決める方程式（自己無撞着方程式）が得られます。

$h = 0$ では $m = 0$ は常に解です。 $y = m$ と $y = tanh (β z J m)$ のグラフを比べると、 $tanh$ は原点で傾き $β z J$ 、 $m > 0$ で上に凸なので、 $β z J > 1$ のときに限り $m \neq = 0$ の解 $\pm m_{0}$ が現れます（このとき自由エネルギーが低いのはこちらで、 $m = 0$ は不安定です）。境目 $β z J = 1$ が転移温度 $k_{B} T_{c} = z J$ です。 $T_{c}$ の近くでは $m$ も $β h$ も小さいので $tanh x \approx x - \frac{x ^{3}}{3}$ と展開でき、ランダウ理論の状態方程式 $h = a t m + b m^{3}$ と同じ形になるので、 $β = \frac{1}{2}, γ = 1, δ = 3$ の平均場の臨界指数が出てきます。

手順

注目するスピンに働く有効磁場を書く。隣接数を $z$ として、隣のスピンを平均 $m$ に置き換え $h_{eff} = z J m + h$ 。
孤立スピンの平均を当てはめて自己無撞着方程式 $m = tanh β (z J m + h)$ を作る。
$h = 0$ で原点での傾き $β z J$ が 1 になる条件から転移温度 $k_{B} T_{c} = z J$ を求める。
$T_{c}$ 近傍では $tanh x \approx x - \frac{x ^{3}}{3}$ と展開し、 $h = 0$ で $m \neq = 0$ の解を求めて $m \approx 3 (1 - \frac{T}{T _{c}})^{1/2}$ を得る。
帯磁率 $χ = \frac{\partial m}{\partial h}_{h = 0}$ は方程式を $h$ で微分して求める。 $T > T_{c}$ では $χ = \frac{1}{k _{B} ( T - T _{c} )}$ （キュリー・ワイス則）、 $T < T_{c}$ では $T_{c}$ 近傍で $χ \approx \frac{1}{2 k _{B} ( T _{c} - T )}$ 。

例題

単純立方格子（隣接数 $z = 6$ ）上のイジング模型 $H = - J \sum_{⟨ ij ⟩} s_{i} s_{j}$ （ $s_{i} = \pm 1$ 、 $J > 0$ 、 $\sum_{⟨ ij ⟩}$ は最近接の組についての和、磁場なし）をワイスの分子場近似で扱う。 $β = 1/ k_{B} T$ 、 $m = ⟨ s_{i} ⟩$ とする。転移温度を $T_{c}$ とし、 $T_{c}$ の直下で自発磁化が $m ≃ A (1 - \frac{T}{T _{c}})^{1/2}$ （ $A > 0$ ）と振る舞うとき、 $k_{B} T_{c}$ と $A$ をこの順に求めよ。

例題の解答

手順 1: スピン $s_{i}$ の 6 個の隣を $m$ に置き換えると、有効磁場は $h_{eff} = 6 J m$ 。

手順 2: 自己無撞着方程式は $m = tanh (6 β J m)$ 。

手順 3: 右辺の原点での傾きは $6 β J$ 。これが 1 を超えると $m \neq = 0$ の解が現れるので、 $6 J / (k_{B} T_{c}) = 1$ より $k_{B} T_{c} = 6 J$ 。

手順 4: $6 β J = T_{c} / T$ なので $x = \frac{T _{c}}{T} m$ とおき、 $tanh x \approx x - \frac{x ^{3}}{3}$ を使うと
$m = \frac{T _{c}}{T} m - \frac{1}{3} (\frac{T _{c}}{T})^{3} m^{3} .$
$m \neq = 0$ で両辺を $m$ で割り整理すると
$m^{2} = 3 (\frac{T}{T _{c}})^{3} (\frac{T _{c}}{T} - 1) = 3 (\frac{T}{T _{c}})^{2} (1 - \frac{T}{T _{c}}) .$
$T \to T_{c}$ で $(T / T_{c})^{2} \to 1$ なので、主要項は $m ≃ 3 (1 - \frac{T}{T _{c}})^{1/2}$ 。よって $A = 3$ 。

答え: $(6 J, 3)$

よくある誤り

結合の二重数えを気にして有効磁場を $\frac{z}{2} J m$ とし、 $k_{B} T_{c} = \frac{z J}{2}$ としてしまう誤り。1 つのスピン $s_{i}$ が含まれる項は $- J s_{i} s_{j}$ が $z$ 本あるので、正しくは $h_{eff} = z J m + h$ 、 $k_{B} T_{c} = z J$ 。（ $\frac{1}{2}$ が必要になるのは、全体のエネルギー $⟨ H ⟩ = - \frac{N z}{2} J m^{2}$ を数えるときである。）
$T < T_{c}$ でも $m = 0$ を解として採用してしまう誤り。 $m = 0$ は方程式を満たすが、 $β z J > 1$ では不安定で自由エネルギーが高い。正しくは $m \neq = 0$ の解をとり、 $m ≃ 3 (1 - T / T_{c})^{1/2}$ 。
$T < T_{c}$ の帯磁率を $T > T_{c}$ と同じ $χ = \frac{1}{k _{B} ∣ T - T _{c} ∣}$ としてしまう誤り。 $m = tanh x$ 、 $x = β (z J m + h)$ を $h$ で微分すると $χ = \frac{β ( 1 - m ^{2} )}{1 - β z J ( 1 - m ^{2} )}$ で、 $T_{c}$ 直下で $m^{2} ≃ 3 (1 - T / T_{c})$ を入れると $χ ≃ \frac{1}{2 k _{B} ( T _{c} - T )}$ と、 $T > T_{c}$ の半分になる。
分子場近似の $T_{c}$ を厳密な値と思ってしまう誤り。ゆらぎを無視しているので $T_{c}$ は高めに出る。たとえば 1 次元鎖（ $z = 2$ ）では $k_{B} T_{c} = 2 J$ と予言されるが、実際には有限温度で転移は起こらない（厳密には $T_{c} = 0$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
2 次元正方格子（最近接サイトの数 $z = 4$ ）上の強磁性イジング模型
$H = - J ⟨ i, j ⟩ \sum s_{i} s_{j} (J > 0, s_{i} = \pm 1)$
を考える。和は最近接のサイトの組（各組 1 回）についてとり、磁場はない。系は温度 $T$ の熱平衡にあり、 $k_{B}$ はボルツマン定数とする。
ワイスの分子場近似（各スピンにとって隣接スピンをその平均値 $m = ⟨ s_{i} ⟩$ で置き換える近似）を用いるとき、自発磁化が $m = \frac{1}{2}$ となる温度 $T$ について、 $\frac{k _{B} T}{J}$ を求めよ。