常磁性体の磁化と磁化率

磁場中の磁気モーメント（スピン $1/2$ や、結晶場を含むスピン $1$ などの多準位）の分配関数から磁化 $M = N μ ⟨ m ⟩$ を求め、弱磁場で展開して磁化率 $χ = \frac{\partial M}{\partial B}_{B = 0}$ （キュリーの法則 $χ \propto 1/ T$ など）を計算できる

前提

2 準位系の統計力学（大学物理統計力学）

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算数中学高校大学大学院

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2 準位系の統計力学（大学物理統計力学）

説明

常磁性体は、互いに独立な小さな磁気モーメントがたくさん集まったものとみなせます。磁場 $B$ をかけるとモーメントは磁場の向きにそろう方がエネルギーが低くなりますが、熱運動がそれを乱すので、そろい具合は温度で決まります。この技能では、1 個のモーメントの分配関数から磁化 $M = N μ ⟨ m ⟩$ （ $m$ は磁場方向の成分を表す量子数）を求め、弱い磁場で展開して磁化率 $χ = \frac{\partial M}{\partial B}_{B = 0}$ を計算します。スピン $1/2$ のキュリーの法則 $χ \propto 1/ T$ や、結晶場で準位が分かれたスピン $1$ のずれなど、実験で測る磁化率の温度変化を説明するときに使います。

なぜそうしてよいのか

1 個の磁気モーメントの磁場方向の成分を $μ m$ とします（スピン $1/2$ なら $m = \pm 1$ とおく流儀、スピン $1$ なら $m = 1, 0, - 1$ ）。磁場 $B$ 中のエネルギーは $- μ m B$ （そろうほど低い）に、磁場によらない部分（結晶場による準位の分裂など）を加えたものです。モーメントどうしは独立で区別できる（結晶の格子点に固定されている）ので $Z = z^{N}$ 、 $z = \sum_{m} e^{- β E_{m}}$ です。 $\frac{\partial E _{m}}{\partial B} = - μ m$ なので
$\frac{\partial lo g z}{\partial B} = \frac{1}{z} m \sum β μ m e^{- β E_{m}} = β μ ⟨ m ⟩$
となり、 $⟨ m ⟩ = \frac{1}{β μ} \frac{\partial lo g z}{\partial B}$ 、磁化は $M = N μ ⟨ m ⟩$ です。平均エネルギーを $β$ の微分で取り出したのと同じく、磁気モーメントは $B$ の微分で取り出せます。

スピン $1/2$ では $z = e^{β μ B} + e^{- β μ B}$ で、 $⟨ m ⟩ = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}$ （ $x = β μ B$ ）です。この関数を $tanh x$ と書きます。強い磁場や低温（ $x ≫ 1$ ）では $⟨ m ⟩ \to 1$ で全部そろい（飽和）、弱い磁場（ $x ≪ 1$ ）ではテイラー展開 $e^{\pm x} \approx 1 \pm x$ より $⟨ m ⟩ \approx x$ です。したがって $M \approx \frac{N μ ^{2}}{k _{B} T} B$ 、 $χ = \frac{N μ ^{2}}{k _{B} T}$ となり、温度が高いほど熱運動でそろいにくくなるため $χ \propto \frac{1}{T}$ （キュリーの法則）が出てきます。

多準位の場合も手順は同じで、 $⟨ m ⟩$ を $B$ について 1 次まで展開すれば $χ$ が求まります。 $B = 0$ で $m$ と $- m$ の準位のエネルギーが等しい場合、一般に $χ = \frac{N μ ^{2}}{k _{B} T} ⟨ m^{2} ⟩_{B = 0}$ となります（ $⟨ m ⟩$ の分子を $B$ で 1 次まで展開すると $β μ B \sum_{m} m^{2} e^{- β E_{m} (0)}$ 、分母は $B = 0$ の値でよいため）。結晶場で $m = 0$ の準位だけが下がると、低温ほど磁場に応答しない $m = 0$ に粒子がたまり、 $χ$ はキュリーの法則からずれます。

手順

1 個のモーメントのとりうる状態 $m$ と、そのエネルギー $E_{m} = (磁場によらない部分) - μ m B$ を書き出す
1 個の分配関数 $z = \sum_{m} e^{- β E_{m}}$ を作る
$⟨ m ⟩ = \frac{1}{β μ} \frac{\partial lo g z}{\partial B}$ （または $⟨ m ⟩ = \frac{1}{z} \sum_{m} m e^{- β E_{m}}$ ）を計算し、 $M = N μ ⟨ m ⟩$ とする
$x = β μ B$ が小さいとして $e^{\pm x} \approx 1 \pm x$ と展開し、 $M$ の $B$ について 1 次の係数を取り出して $χ = \frac{\partial M}{\partial B}_{B = 0}$ を得る

例題

結晶中に固定された互いに独立な $N$ 個のスピン $1$ のイオンがあり、温度 $T$ の熱浴と接している。各イオンの状態は $m = 1, 0, - 1$ の 3 つで、磁束密度 $B$ の磁場中でのエネルギーは $E_{m} = D m^{2} - μ m B$ （ $D > 0$ は結晶場の定数、 $μ > 0$ ）である。磁化を $M = N μ ⟨ m ⟩$ とし、ボルツマン定数を $k_{B}$ とする。磁化率 $χ = \frac{\partial M}{\partial B}_{B = 0}$ を $N, μ, D, k_{B}, T$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: $E_{1} = D - μ B$ 、 $E_{0} = 0$ 、 $E_{- 1} = D + μ B$ 。

手順 2: $β = 1/ k_{B} T$ として $z = 1 + e^{- β D} (e^{β μ B} + e^{- β μ B})$ 。

手順 3: $⟨ m ⟩ = \frac{1}{z} m \sum m e^{- β E_{m}} = \frac{e ^{- β D} ( e ^{β μ B} - e ^{- β μ B} )}{1 + e ^{- β D} ( e ^{β μ B} + e ^{- β μ B} )}, M = N μ ⟨ m ⟩ .$

手順 4: $x = β μ B ≪ 1$ として $e^{\pm x} \approx 1 \pm x$ と展開すると、分子は $2 x e^{- β D}$ 、分母は $B$ について 0 次で $1 + 2 e^{- β D}$ （1 次の項は打ち消し合う）。よって
$M \approx N μ \cdot \frac{2 e ^{- β D}}{1 + 2 e ^{- β D}} \cdot \frac{μ B}{k _{B} T} = \frac{2 N μ ^{2}}{k _{B} T ( e ^{D / k_{B} T} + 2 )} B .$
$B$ の係数が磁化率で
$χ = \frac{2 N μ ^{2}}{k _{B} T ( e ^{D / k_{B} T} + 2 )} .$
（確認: $D \to 0$ では $χ = \frac{2 N μ ^{2}}{3 k _{B} T}$ となり、3 状態が等確率のときの $⟨ m^{2} ⟩ = \frac{2}{3}$ を使ったキュリーの法則と一致する。 $k_{B} T ≪ D$ では $m = 0$ にほとんどのイオンがたまり、 $χ$ は $0$ に近づく。）

答え: $\frac{2 N μ ^{2}}{k _{B} T ( e ^{D / k_{B} T} + 2 )}$

よくある誤り

エネルギーの符号を逆にして $E_{m} = + μ m B$ としてしまう誤り。磁気モーメントは磁場の向きにそろうほどエネルギーが低いので、正しくは $E_{m} = - μ m B$ （このとき $B > 0$ で $M > 0$ ）。
$⟨ m ⟩ = \frac{\partial lo g z}{\partial B}$ と $β μ$ で割るのを忘れる誤り。 $\frac{\partial lo g z}{\partial B} = β μ ⟨ m ⟩$ なので、正しくは $⟨ m ⟩ = \frac{1}{β μ} \frac{\partial lo g z}{\partial B}$ 。
弱磁場の展開で分母にも $B$ の 1 次の項が残るとして計算を複雑にしたり、分母を $1$ や $3$ に置きかえたりする誤り。分母の 1 次の項は $m$ と $- m$ で打ち消し合い、正しくは分母を $B = 0$ での値 $z (0) = 1 + 2 e^{- β D}$ にする。
スピン $1/2$ の磁化を飽和の値 $M = N μ$ のまま磁化率を求め、 $χ = 0$ や温度によらない値としてしまう誤り。飽和は $μ B ≫ k_{B} T$ のときだけで、 $B \to 0$ では $M = N μ tanh \frac{μ B}{k _{B} T} \approx \frac{N μ ^{2}}{k _{B} T} B$ より正しくは $χ = \frac{N μ ^{2}}{k _{B} T}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
互いに独立で区別できる $N$ 個の磁気モーメントからなる常磁性体が、絶対温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にあり、 $z$ 方向に大きさ $B$ の一様な磁場がかかっている。各磁気モーメントの $z$ 成分は $μ m$ （ $m = 1, 0, - 1$ の 3 通り、 $μ > 0$ は定数）をとり、そのエネルギーは $- μ m B$ である。磁化（磁気モーメントの $z$ 成分の和の平均）を $M = N μ ⟨ m ⟩$ とする。ボルツマン定数を $k_{B}$ とする。磁化率 $χ = \frac{\partial M}{\partial B}_{B = 0}$ を $N$ , $μ$ , $k_{B}$ , $T$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ワイスの分子場近似（大学院物理相転移と繰り込み群）