統計力学の問題

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子（角振動数はすべて $\omega$）からなる孤立系（アインシュタイン模型）を考える。各振動子のエネルギー準位は $\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega (n=0,1,2,\dots )$ である。系の全エネルギーが、零点エネルギーを含めて $E=\frac{5}{2}N\hslash \omega$ に固定されているとき、ミクロカノニカル分布にもとづいてこの系の温度 $T$ を求めよ。ただし、$N$ は十分大きく、状態数の計算に現れる階乗にはスターリングの近似 $\log n!\approx n\log n-n$ を使ってよい（$N$ に比べて $1$ は無視してよい）。エントロピーは $S=k_B\log W$（$W$ は状態数、$k_B$ はボルツマン定数）、温度は $\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}$ で定める。$T$ を $\hslash$, $\omega$, $k_B$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の磁性イオンからなる常磁性体が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各イオンはスピン $1$ をもち、スピンの $z$ 成分 $m=-1,0,1$ の 3 つの状態をとる。結晶場の効果と、$z$ 軸の正の向きにかけた磁束密度 $B$ の一様磁場によって、各イオンのハミルトニアンは
$$H=D{m}^2-\mu Bm$$
で与えられる（$D>0$ は結晶場の定数、$\mu >0$ は磁気モーメントの大きさを表す定数）。系全体の磁気モーメントの $z$ 成分の熱平均を $M=N\mu ⟨m⟩$ とするとき、磁場が $0$ の極限での磁化率 $\chi ={\frac{\partial M}{\partial B}|}_{B=0}$ を、$N,\mu ,D,T$ とボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子（すべて角振動数 $\omega$）が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各振動子のエネルギー準位は $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とし、系はカノニカル分布に従うものとする。ボルツマン定数を $k_B$ とする。

この温度 $T$ では、1 個の振動子が基底状態 $n=0$ にある確率がちょうど $\frac{1}{2}$ であった。この温度における系全体の定積熱容量 $C$ を、$N$ と $k_B$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個のイオンからなる常磁性体が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各イオンはスピン量子数 $1$ をもち、磁気量子数 $m=-1,0,1$ の 3 つの状態をとる。結晶場の効果と、$z$ 方向にかけた磁束密度 $B$ の磁場との相互作用により、1 個のイオンの状態 $m$ のエネルギーは
$${\epsilon }_m=D{m}^2-\mu Bm$$
で与えられる。ここで $D>0$ は結晶場による分裂の大きさ、$\mu >0$ は磁気モーメントの大きさを表す定数であり、状態 $m$ のイオンの磁気モーメントの $z$ 成分は $\mu m$ である。系全体の磁気モーメントの $z$ 成分の熱平均を $M$ とするとき、ゼロ磁場での帯磁率
$$\chi ={\frac{\partial M}{\partial B}|}_{B=0}$$
を $N$, $\mu$, $D$, $T$, ボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。

互いに独立で区別できる $N$ 個の磁気モーメントからなる常磁性体が、絶対温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にあり、$z$ 方向に大きさ $B$ の一様な磁場がかかっている。各磁気モーメントの $z$ 成分は $\mu m$（$m=1,0,-1$ の 3 通り、$\mu >0$ は定数）をとり、そのエネルギーは $-\mu mB$ である。磁化（磁気モーメントの $z$ 成分の和の平均）を $M=N\mu ⟨m⟩$ とする。ボルツマン定数を $k_B$ とする。磁化率 $\chi ={\frac{\partial M}{\partial B}|}_{B=0}$ を $N$, $\mu$, $k_B$, $T$ を用いて表せ。