統計力学の問題

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の磁性イオンからなる常磁性体が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各イオンはスピン $1$ をもち、スピンの $z$ 成分 $m=-1,0,1$ の 3 つの状態をとる。結晶場の効果と、$z$ 軸の正の向きにかけた磁束密度 $B$ の一様磁場によって、各イオンのハミルトニアンは
$$H=D{m}^2-\mu Bm$$
で与えられる（$D>0$ は結晶場の定数、$\mu >0$ は磁気モーメントの大きさを表す定数）。系全体の磁気モーメントの $z$ 成分の熱平均を $M=N\mu ⟨m⟩$ とするとき、磁場が $0$ の極限での磁化率 $\chi ={\frac{\partial M}{\partial B}|}_{B=0}$ を、$N,\mu ,D,T$ とボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない異核 2 原子分子 $N$ 個からなる理想気体が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。分子の回転運動だけに注目し、各分子を慣性モーメント $I$ の剛体回転子とみなす。回転のエネルギー準位は
$$E_l=\frac{{\hslash }^2}{2I}l(l+1)(l=0,1,2,\dots )$$
で、準位 $E_l$ の縮退度は $2l+1$ である。回転の特性温度を $\Theta =\frac{{\hslash }^2}{2I{k}_{\mathrm{B}}}$（$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数）とし、$x=\frac{\Theta }{T}$ とおく。回転以外の自由度（並進・振動・電子状態・核スピン）は考えない。

高温 $T\gg \Theta$（すなわち $x\ll 1$）で、回転による定積熱容量 $C_{\mathrm{rot}}$ が
$$C_{\mathrm{rot}}=N{k}_{\mathrm{B}}\left[1+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+O(x^4)\right]$$
と展開されるとき、係数 $a_3$ を既約分数で求めよ。

面積 $A$ の 2 次元の箱に閉じ込められた、スピン $0$、質量 $m$ の理想ボース気体が、温度 $T$ の熱浴と粒子だめに接して熱平衡にある（グランドカノニカル分布）。面密度を $n=\frac{N}{A}$（$N$ は粒子数の平均）とする。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k$ は波数ベクトルの大きさ）で、周期的境界条件を課し、$A$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。粒子はボース分布
$$f(\epsilon )=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}-1}$$
に従う（$\mu$ は化学ポテンシャル、$k_B$ はボルツマン定数）。このとき $\mu$ を $n$, $m$, $T$, $\hslash$, $k_B$ を用いて表せ。

鉛直に立てた断面積 $S$、高さ $L$ の円筒容器（底面が $z=0$、上面が $z=L$、$z$ 軸は鉛直上向き）の中に、質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる理想気体が閉じ込められ、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。分子は一様な重力（重力加速度の大きさ $g$）を受け、高さ $z$ にある分子の位置エネルギーは $mgz$ である。分子どうしの相互作用はなく、分子の運動は古典統計力学で扱えるとする（分子は区別できない同種粒子として扱う）。容器の体積は一定である。この気体の定積熱容量 $C$ を $N$, $m$, $g$, $L$, $T$, ボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個のスピン $\frac{1}{2}$ の磁気モーメントからなる常磁性体を考える。磁束密度 $B(B>0)$ の一様な磁場の中で、各磁気モーメントのエネルギーは $-\mu B$（磁場と平行）または $+\mu B$（反平行）の 2 通りの値をとる（$\mu >0$ は定数）。格子振動などほかの自由度は無視する。はじめ、この常磁性体は磁束密度 $B_i$ の磁場の中で温度 $T_i$ の熱浴と熱平衡にあった。次に熱浴から切り離して断熱し、磁場を準静的に $B_f(0<B_f<B_i)$ までゆっくり弱めた（断熱消磁）。各時刻で系はカノニカル分布で表される熱平衡状態にあるとみなす。最終状態の温度 $T_f$ を $T_i$, $B_i$, $B_f$ を用いて表せ。