統計力学の問題

体積 $V$ の立方体の箱に、質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の互いに相互作用しないフェルミ粒子 $N$ 個が閉じ込められている（3 次元の理想フェルミ気体）。数密度を $n=\frac{N}{V}$ とする。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k$ は波数ベクトルの大きさ）で、周期的境界条件を課し、$V$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。絶対零度におけるこの気体の圧力 $P=-{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_N$（$U$ は基底状態のエネルギー）を $n$, $m$, $\hslash$ を用いて表せ。

体積 $V$ の箱の中に、質量をもたないスピン $\frac{1}{2}$ のフェルミ粒子が $N$ 個閉じ込められている。各運動量 $\mathbf{p}$ に対してスピン状態は $2$ つある（縮重度 $2$）とする。粒子どうしの相互作用は無視する。1 粒子のエネルギーは運動量の大きさ $p$ を用いて $\epsilon =cp$（$c$ は光速）で与えられる。反粒子の生成は考えない。系は温度 $T$ の熱平衡にあり、粒子は化学ポテンシャル $\mu$ のフェルミ分布
$$f(\epsilon )=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}$$
に従う。数密度を $n=\frac{N}{V}$ とし、$V$ は十分大きく、運動量についての和は（スピンについての和とは別に）積分 $\sum _{\mathbf{p}}\to \frac{V}{(2\pi \hslash {)}^3}\int d^{3}p$ で置き換えてよい（$\hslash$ はディラック定数、$k_B$ はボルツマン定数）。

温度が十分低く $k_{B}T$ がフェルミエネルギーに比べて十分小さいとき、なめらかな関数 $\varphi (\epsilon )$（$\varphi (0)=0$）に対するゾンマーフェルト展開
$${\int }_0^{\infty }\varphi (\epsilon )f(\epsilon )d\epsilon ={\int }_0^{\mu }\varphi (\epsilon )d\epsilon +\frac{{\pi }^2}{6}(k_{B}T{)}^2{\varphi }^{\prime }(\mu )+\cdots$$
を用いてよい。化学ポテンシャル $\mu$ を、$T$ の 2 次までの精度で $n,T,\hslash ,c,k_B$ を用いて表せ。

面積 $A$ の 2 次元結晶膜が温度 $T$ で熱平衡にある。この膜の面に垂直な方向の振動（屈曲振動）は、波数ベクトル $\mathbf{k}$（大きさ $k=|\mathbf{k}|$）のフォノンとして扱え、その分散関係は
$$\omega =\alpha k^2(\alpha >0\text{ は定数})$$
で与えられる。屈曲振動の偏りは 1 種類だけで、膜は十分に大きく、周期的境界条件のもとで $\mathbf{k}$ についての和は積分で近似できるとする。また、温度は十分低く、角振動数の上限（デバイ型のカットオフ）は無限大とみなしてよい。フォノンは化学ポテンシャル $0$ のボース分布に従うとし、零点エネルギーは温度によらないので無視してよい。必要なら
$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$$
を用いよ。屈曲振動による膜の定積熱容量 $C$ を $A$, $T$, $\alpha$, ボルツマン定数 $k_B$, $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ のスピン $0$ のボース粒子 $N$ 個（$N\gg 1$）が、2 次元の等方的な調和ポテンシャル $V(x,y)=\frac{1}{2}m{\omega }^2(x^2+y^2)$（$\omega >0$）に閉じ込められている。粒子間の相互作用は無視する。1 粒子のエネルギー準位は、零点エネルギーを基準として $\epsilon =(n_x+n_y)\hslash \omega$（$n_x,n_y=0,1,2,\dots$）である。系は温度 $T$ の熱浴と粒子を交換しない形で熱平衡にあり、大正準分布（ボース分布）で扱う。$k_{B}T\gg \hslash \omega$ の温度域では、励起状態についての和を状態密度を用いた積分で近似してよい。この近似のもとで、基底状態に巨視的な数の粒子が凝縮し始める温度（ボース・アインシュタイン凝縮の転移温度）$T_c$ を、$N,\hslash ,\omega$ とボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$ を用いてよい。

体積 $V$ の空洞の内部が、温度 $T$ の壁と熱平衡にある電磁波（光子気体）で満たされている。空洞内の電磁場の基準振動は、波数ベクトル $\mathbf{k}$ ごとに 2 つの独立な偏光をもち、角振動数は $\omega =c|\mathbf{k}|$（$c$ は真空中の光速）である。空洞は十分に大きく、基準振動についての和は周期境界条件のもとで積分に置き換えてよい。光子数は保存せず、光子の化学ポテンシャルは $0$ とする。零点エネルギーは考えない。この光子気体のヘルムホルツの自由エネルギー $F$ を分配関数から求め、それを用いてエントロピー $S$ を、$V,T,\hslash ,c$ とボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いてよい。