同種粒子と交換対称性

幅 $L$ の 1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0\le x\le L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中に、質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子が 5 個入っている。粒子どうしの相互作用は無視する。1 粒子のエネルギー準位は
$$E_n=n^2{E}_1\left(n=1,2,3,\dots ,E_1=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}\right)$$
であり、各準位にはスピンの向き $S_z=\pm \frac{\hslash }{2}$ の 2 つの状態がある。

この 5 粒子系の基底状態のエネルギーは $E_1$ の何倍か。

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 5 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $0$、それ以外で $+\infty$）の中にある。粒子どうしの相互作用は無視でき、ハミルトニアンはスピンによらない。1 粒子のエネルギー準位は
$${\epsilon }_n=n^2\epsilon ,\epsilon =\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}(n=1,2,3,\dots )$$
で、各準位はスピンの向き（$S_z=\pm \frac{\hslash }{2}$）の 2 通りの状態をもつ。

この 5 粒子系の第 1 励起状態（基底状態の次に低いエネルギーの状態）のエネルギーは $\epsilon$ の何倍か。

スピン $1$ の同種のボース粒子 3 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (0<x<L)\\ \infty & (\text{otherwise})\end{array}$$
の中にある。粒子どうしの相互作用はなく、ハミルトニアンはスピンによらない。1 粒子のエネルギー準位は ${\epsilon }_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$（$n=1,2,\dots$、$m$ は粒子の質量）で、各 $n$ の空間的な状態はただ 1 つである。

この 3 粒子系の基底状態の縮退度（基底状態のエネルギーをもつ、線形独立な 3 粒子状態の数）を求めよ。

面積 $A$ の正方形の 2 次元領域に閉じ込められた、質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の自由なフェルミ粒子 $N$ 個からなる理想フェルミ気体がある。粒子どうしの相互作用は無視し、1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2|\mathbf{k}{|}^2}{2m}$（$\mathbf{k}$ は 2 次元の波数ベクトル）とする。境界条件は周期境界条件とし、$N\gg 1$ で波数についての和は積分で近似してよい。スピンの向きによってエネルギーは変わらない。絶対零度におけるフェルミエネルギー ${\epsilon }_F$ を、$N,A,m,\hslash$ を用いて表せ。

一辺 $L$ の正方形（面積 $A=L^2$）の中に閉じ込められた、互いに相互作用しない質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の 2 次元理想フェルミ気体がある。面密度は $n=\frac{N}{A}$（$N$ は粒子数）である。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k=|\mathbf{k}|$）で、周期的境界条件により波数は $\mathbf{k}=\frac{2\pi }{L}(n_x,n_y)$（$n_x,n_y$ は整数）の値をとる。各波数の状態にはスピンの向きが 2 通りあり、パウリの排他原理に従って粒子が詰まる。$L$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。絶対零度におけるフェルミエネルギー ${\epsilon }_F$ を $n$, $m$, $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の同種のフェルミ粒子 2 個が、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$ の中にある。粒子間の相互作用は無視でき、ハミルトニアンはスピンによらないとする。1 粒子のハミルトニアンの規格化された固有状態を ${\phi }_n(x)$（$n=0,1,2,\dots$、エネルギー $(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$）とし、位置演算子は昇降演算子 $a,a^{†}$（$a{\phi }_n=\sqrt{n}{\phi }_{n-1}$、$a^{†}{\phi }_n=\sqrt{n+1}{\phi }_{n+1}$）を用いて
$$x=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†})$$
と表される。

いま、1 粒子状態 ${\phi }_0$ と ${\phi }_1$ に 1 個ずつ粒子が入り、2 粒子の全スピンが $0$（スピン一重項）である状態にある。この状態における 2 粒子間の距離の 2 乗の期待値 $⟨(x_1-x_2{)}^2⟩$ を $m,\omega ,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 2 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $0$、それ以外で $+\infty$）の中にある。粒子間の相互作用は無視でき、1 粒子の規格化された固有関数は
$${\varphi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}(n=1,2,3,\dots )$$
である。

2 粒子のスピン状態が $|\uparrow {⟩}_1|\uparrow {⟩}_2$（どちらも $S_z=+\frac{\hslash }{2}$）で、空間部分では一方が ${\varphi }_1$、もう一方が ${\varphi }_2$ の状態を占めている。このとき、2 粒子の位置を $x_1,x_2$ として、期待値 $⟨(x_1-x_2{)}^2⟩$ は $L^2$ の何倍か。必要なら
$${\int }_0^L{x}^2{\varphi }_n(x{)}^{2}dx=L^2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n^2{\pi }^2}\right)$$
を用いてよい。

体積 $V$ の立方体の箱に、質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の互いに相互作用しないフェルミ粒子 $N$ 個が閉じ込められている（3 次元の理想フェルミ気体）。数密度を $n=\frac{N}{V}$ とする。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k$ は波数ベクトルの大きさ）で、周期的境界条件を課し、$V$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。絶対零度におけるこの気体の圧力 $P=-{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_N$（$U$ は基底状態のエネルギー）を $n$, $m$, $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 2 個が、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子ポテンシャルの中にある。粒子の座標を $x_1,x_2$ とし、系のハミルトニアンを
$$H=\sum _{j=1}^2\left(\frac{p_j^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}_j^2\right)+g\delta (x_1-x_2)(g>0)$$
とする。ハミルトニアンはスピンによらない。接触相互作用 $g\delta (x_1-x_2)$ を摂動とみなす。非摂動の 1 粒子の規格化された固有関数のうち、基底状態と第 1 励起状態は、$\alpha =\sqrt{m\omega /\hslash }$ として
$${\phi }_0(x)={\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\pi }}\right)}^{1/2}{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2},{\phi }_1(x)={\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\pi }}\right)}^{1/2}\sqrt{2}\alpha x{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2}$$
である。2 粒子系の非摂動エネルギーが $2\hslash \omega$ の準位（零点エネルギーを含む。1 粒子が ${\phi }_0$、もう 1 粒子が ${\phi }_1$ を占める準位）は、摂動の 1 次で 2 つのエネルギー準位に分かれる。高いほうの準位のエネルギーから低いほうの準位のエネルギーを引いた差を、摂動の 1 次までで $g,m,\omega ,\hslash$ を用いて求めよ。必要なら ${\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a^3}}(a>0)$ を用いてよい。

質量 $m$ でスピン $\frac{1}{2}$ の同種のフェルミ粒子 3 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (0<x<L)\\ \infty & (\text{otherwise})\end{array}$$
の中にある。粒子どうしには、スピンによらない接触相互作用
$$H^{\prime }=g\sum _{i<j}\delta (x_i-x_j)$$
がはたらく。ここで $g$ は正の定数で、$H^{\prime }$ は摂動として十分小さいとする。$H^{\prime }$ 以外の相互作用はなく、1 粒子の固有関数は ${\phi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}$（$n=1,2,\dots$）、そのエネルギーは ${\epsilon }_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$ である。

この 3 粒子系の基底状態のエネルギーを、$g$ について 1 次の摂動論までの精度で求めよ。$\hslash$ はディラック定数とし、答えは $m$, $L$, $g$, $\hslash$ を用いて表せ。