第二量子化と生成消滅演算子

ボース粒子の交換関係 $[a, a^{†}] = 1$ ・フェルミ粒子の反交換関係 ${c, c^{†}} = 1$ を使い、フォック状態 $\frac{1}{n !} (a^{†})^{n} ∣0 ⟩$ に対する演算子の作用や期待値（ $⟨ a^{†} b b^{†} a ⟩$ など）を計算し、一体・二体演算子を生成消滅演算子で書ける

前提

調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））
同種粒子と交換対称性（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

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算数中学高校大学大学院

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同種粒子と交換対称性（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

説明

多数の同種粒子を扱うとき、波動関数をいちいち対称化・反対称化（スレーター行列式）するのは大変です。第二量子化では、「どの 1 粒子状態に粒子が何個いるか」（占有数）だけで状態を表し、粒子を 1 個増やす生成演算子と 1 個減らす消滅演算子で、状態も演算子も書き表します。この技能では、ボース粒子の交換関係 $[a, a^{†}] = 1$ とフェルミ粒子の反交換関係 ${c, c^{†}} = 1$ を使って、占有数の状態（フォック状態）への演算子の作用や期待値を計算し、運動エネルギーや相互作用のような一体・二体演算子を生成消滅演算子で書けるようになります。多体系の量子論や場の量子論の基本の言葉です。

なぜそうしてよいのか

調和振動子の昇降演算子では、 $a^^{†}$ が量子 $ℏ ω$ を 1 つ加え、 $a^^{†} ∣ n ⟩ = n + 1 ∣ n + 1 ⟩$ , $a^∣ n ⟩ = n ∣ n - 1 ⟩$ , $[a^, a^^{†}] = 1$ でした。これを「ある 1 粒子状態 $i$ にいるボース粒子の数 $n_{i}$ 」と読みかえるのが第二量子化の発想です。1 粒子状態ごとに独立な演算子 $a_{i}$ を用意し、 $[a_{i}, a_{j}^{†}] = δ_{ij}$ , $[a_{i}, a_{j}] = [a_{i}^{†}, a_{j}^{†}] = 0$ とします。粒子のいない真空 $∣0 ⟩$ （ $a_{i} ∣0 ⟩ = 0$ ）から $∣ n_{1}, n_{2}, \dots ⟩ = \prod_{i} \frac{( a _{i}^{†} ) ^{n_{i}}}{n _{i} !} ∣0 ⟩$ と作った状態はノルム 1 で、 $a_{i}^{†} a_{i} = n^_{i}$ が状態 $i$ の粒子数を数えます。異なるモードの生成演算子が可換なので、粒子を入れる順番によらず同じ状態になり、ボース粒子の交換対称性が自動的に入っています。

フェルミ粒子では交換すると符号が変わるので、交換関係の代わりに反交換関係 ${c_{i}, c_{j}^{†}} \equiv c_{i} c_{j}^{†} + c_{j}^{†} c_{i} = δ_{ij}$ , ${c_{i}, c_{j}} = {c_{i}^{†}, c_{j}^{†}} = 0$ を課します。特に $c_{i}^{†} c_{i}^{†} = 0$ なので同じ状態に 2 個は入れず、パウリの排他原理が自動的に満たされます（ $n_{i} = 0, 1$ ）。また $c_{i}^{†} c_{j}^{†} = - c_{j}^{†} c_{i}^{†}$ がスレーター行列式の反対称性に対応します。状態を $∣ n_{1}, n_{2}, \dots ⟩ = (c_{1}^{†})^{n_{1}} (c_{2}^{†})^{n_{2}} \dots ∣0 ⟩$ と順番を決めて定義すると、 $c_{j}$ や $c_{j}^{†}$ を作用させるときに、それより前にいる粒子の数だけ反交換が必要になり、符号 $(- 1)^{\sum_{i < j} n_{i}}$ がつきます。

粒子 1 個ずつに働く演算子（一体演算子） $\sum_{α} h (α)$ は、1 粒子状態の基底での行列要素 $h_{ij} = ⟨ i ∣ h ∣ j ⟩$ を使って $H^_{1} = \sum_{ij} h_{ij} a_{i}^{†} a_{j}$ と書けます（「 $j$ にいる粒子を 1 個消して $i$ に作る」の振幅が $h_{ij}$ ）。2 粒子間の相互作用（二体演算子）は $V^= \frac{1}{2} \sum_{ij k l} ⟨ ij ∣ V ∣ k l ⟩ a_{i}^{†} a_{j}^{†} a_{l} a_{k}$ となります（フェルミ粒子では $c$ に置きかえ、消滅演算子の順番 $a_{l} a_{k}$ に注意）。期待値の計算では、交換関係で消滅演算子を右へ動かして $n^_{i}$ の形にそろえるのが基本です。

手順

粒子がボースかフェルミかを確認し、使う関係式を決める：ボースなら $[a_{i}, a_{j}^{†}] = δ_{ij}$ 、フェルミなら ${c_{i}, c_{j}^{†}} = δ_{ij}$ （異なるモードは可換、または反可換）
異なるモードの演算子をモードごとにまとめる（フェルミ粒子では入れかえるたびに符号 $- 1$ をつける）
同じモードの中で $a a^{†} = a^{†} a + 1$ （フェルミなら $c c^{†} = 1 - c^{†} c$ ）を使い、個数演算子 $n^= a^{†} a$ の式に直す
フォック状態に作用させる： $n^∣ n ⟩ = n ∣ n ⟩$ , $a ∣ n ⟩ = n ∣ n - 1 ⟩$ , $a^{†} ∣ n ⟩ = n + 1 ∣ n + 1 ⟩$ （フェルミでは $n = 0, 1$ と符号 $(- 1)^{\sum_{i < j} n_{i}}$ ）
期待値は、状態のノルムが 1 であることと、異なるフォック状態どうしが直交することを使って数値にする

例題

独立な 2 つのボース粒子のモードの消滅演算子を $a$ , $b$ とし、 $[a, a^{†}] = [b, b^{†}] = 1$ で、 $a$ 系と $b$ 系の演算子どうしはすべて可換とする。状態 $∣ ψ ⟩ = \frac{1}{2 ! 3 !} (a^{†})^{2} (b^{†})^{3} ∣0 ⟩$ （ $a$ モードに 2 個、 $b$ モードに 3 個）における期待値 $⟨ ψ ∣ a^{†} b b^{†} a ∣ ψ ⟩$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】ボース粒子なので交換関係 $[a, a^{†}] = [b, b^{†}] = 1$ を使う。

【手順 2】 $a$ 系と $b$ 系は可換なので、 $a^{†} b b^{†} a = (a^{†} a) (b b^{†})$ とまとめられる。

【手順 3】 $b b^{†} = b^{†} b + 1 = n^_{b} + 1$ 。よって演算子は $n^_{a} (n^_{b} + 1)$ 。

【手順 4】 $∣ ψ ⟩ = ∣ n_{a} = 2, n_{b} = 3 ⟩$ なので $n^_{a} (n^_{b} + 1) ∣ ψ ⟩ = 2 \cdot (3 + 1) ∣ ψ ⟩ = 8∣ ψ ⟩$ 。

【手順 5】 $∣ ψ ⟩$ は規格化されている（ $⟨ ψ ∣ ψ ⟩ = 1$ ）ので、期待値は $8$ 。

（確認：右から順に作用させると $a ∣2, 3 ⟩ = 2 ∣1, 3 ⟩$ , $b^{†} ∣1, 3 ⟩ = 2∣1, 4 ⟩$ , $b ∣1, 4 ⟩ = 2∣1, 3 ⟩$ , $a^{†} ∣1, 3 ⟩ = 2 ∣2, 3 ⟩$ で、係数の積は $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ 。）

答え: $8$

よくある誤り

$b b^{†}$ を $b^{†} b$ と同じとみなして $⟨ n^_{a} n^_{b} ⟩ = 2 \cdot 3 = 6$ としてしまう誤り。 $[b, b^{†}] = 1$ より $b b^{†} = n^_{b} + 1$ なので、正しくは $2 \cdot (3 + 1) = 8$ 。
フォック状態の規格化因子を落として $(a^{†})^{n} ∣0 ⟩$ のノルムを 1 としてしまう誤り。 $a^{†} ∣ n ⟩ = n + 1 ∣ n + 1 ⟩$ を繰り返すと $(a^{†})^{n} ∣0 ⟩ = n! ∣ n ⟩$ なので、規格化された状態は $∣ n ⟩ = \frac{1}{n !} (a^{†})^{n} ∣0 ⟩$ 。
フェルミ粒子でも交換関係を使って $c c^{†} = c^{†} c + 1$ としてしまう誤り。正しくは反交換関係 ${c, c^{†}} = 1$ から $c c^{†} = 1 - c^{†} c$ で、 $n = 1$ の状態では $⟨ c c^{†} ⟩ = 0$ （すでに埋まっている状態にはもう入れない）。また異なるモードでは $c_{1}^{†} c_{2}^{†} = - c_{2}^{†} c_{1}^{†}$ の符号を落とさない。
二体演算子の消滅演算子の順番を $a_{i}^{†} a_{j}^{†} a_{k} a_{l}$ としてしまう誤り。行列要素 $⟨ ij ∣ V ∣ k l ⟩$ に対しては $V^= \frac{1}{2} \sum ⟨ ij ∣ V ∣ k l ⟩ a_{i}^{†} a_{j}^{†} a_{l} a_{k}$ で、フェルミ粒子では順番を逆にすると全体の符号が変わる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
2 つの独立なボース粒子のモードがあり、それぞれの消滅演算子を $a$ , $b$ とする。これらは
$[a, a^{†}] = [b, b^{†}] = 1, [a, b] = [a, b^{†}] = [a^{†}, b] = [a^{†}, b^{†}] = 0$
を満たす。真空 $∣0 ⟩$ （ $a ∣0 ⟩ = b ∣0 ⟩ = 0$ , $⟨ 0∣0 ⟩ = 1$ ）から作った規格化されたフォック状態
$∣Ψ ⟩ = \frac{1}{3 !} \frac{1}{2 !} (a^{†})^{3} (b^{†})^{2} ∣0 ⟩$
について、期待値 $⟨ Ψ∣ a^{†} b b^{†} a ∣Ψ ⟩$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

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