多体系の量子論・物性理論

2 つの独立なボース粒子のモードがあり、それぞれの消滅演算子を $a$, $b$ とする。これらは
$$[a,a^{†}]=[b,b^{†}]=1,[a,b]=[a,b^{†}]=[a^{†},b]=[a^{†},b^{†}]=0$$
を満たす。真空 $|0⟩$（$a|0⟩=b|0⟩=0$, $⟨0|0⟩=1$）から作った規格化されたフォック状態
$$|\Psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{3!}}\frac{1}{\sqrt{2!}}(a^{†}{)}^3(b^{†}{)}^2|0⟩$$
について、期待値 $⟨\Psi |a^{†}b{b}^{†}a|\Psi ⟩$ を求めよ。

スピン $1/2$ をもつ 1 個の粒子のハミルトニアンを、パウリ行列 ${\sigma }_z$ を用いて
$$H_0=-\frac{\Delta }{2}{\sigma }_z(\Delta >0)$$
とする。系は絶対零度にあり、基底状態 $|\uparrow ⟩$（${\sigma }_z|\uparrow ⟩=|\uparrow ⟩$）にある。時刻 $t$ に依存する外場 $f(t)$ による摂動 $H^{\prime }=-{\sigma }_{x}f(t)$ を加えたときの ${\sigma }_x$ の応答を考える。$\hslash$ はディラック定数とし、応答関数を久保公式
$$\chi (t)=\frac{i}{\hslash }\theta (t)⟨[{\sigma }_x(t),{\sigma }_x]⟩,{\sigma }_x(t)=e^{i{H}_{0}t/\hslash }{\sigma }_x{e}^{-i{H}_{0}t/\hslash }$$
で定義する（$⟨\cdots ⟩$ は基底状態での期待値、$\theta (t)$ は階段関数）。静的感受率
$${\chi }_0=\underset{\eta \to +0}{\lim }{\int }_0^{\infty }\chi (t)e^{-\eta t}dt$$
を $\Delta$ を用いて表せ。

サイト数 $N$ の 1 次元格子（格子定数 $1$、周期境界条件 $c_{n+N}=c_n$）上のスピンをもたないフェルミ粒子を考える。ハミルトニアンは、最近接と第 2 近接のホッピングを含む強束縛模型
$$H=-t_1\sum _{n=1}^N\left(c_{n+1}^{†}{c}_n+c_n^{†}{c}_{n+1}\right)-t_2\sum _{n=1}^N\left(c_{n+2}^{†}{c}_n+c_n^{†}{c}_{n+2}\right)$$
で与えられる。ここで $c_n$ はサイト $n$ の消滅演算子で $\{c_n,c_m^{†}\}={\delta }_{nm}$ を満たし、$t_1$, $t_2$ は実数の定数である。フーリエ変換
$$c_n=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _k{e}^{ikn}{c}_k\left(k=\frac{2\pi m}{N},m=0,1,\dots ,N-1\right)$$
によって $H=\sum _k\epsilon (k)c_k^{†}{c}_k$ と書けるとき、バンドのエネルギー $\epsilon (k)$ を $t_1$, $t_2$, $k$ を用いて表せ。

2 種類のボース粒子のモード $a$, $b$ があり、交換関係は $[a,a^{†}]=[b,b^{†}]=1$ で、それ以外の組（$[a,b]$, $[a,b^{†}]$ など）はすべて $0$ とする。ハミルトニアンが
$$H=5\left(a^{†}a+b^{†}b\right)+4\left(a^{†}{b}^{†}+ab\right)$$
で与えられる（エネルギーはある単位 ${ϵ}_0$ を 1 として測った無次元量とする）。

実数 $u,v$（$u^2-v^2=1$）を使ったボゴリューボフ変換
$$a=u\alpha +v{\beta }^{†},b=u\beta +v{\alpha }^{†}$$
で $H$ を新しいボース演算子 $\alpha ,\beta$ について対角化したとき、$H$ の基底状態（$\alpha$ と $\beta$ の真空）における $a$ モードの粒子数の期待値 $⟨a^{†}a⟩$ を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

2 サイト（サイト 1, 2）のハバード模型
$$H=-t\sum _{\sigma =\uparrow ,\downarrow }\left(c_{1\sigma }^{†}{c}_{2\sigma }+c_{2\sigma }^{†}{c}_{1\sigma }\right)+U\sum _{i=1,2}{n}_{i\uparrow }{n}_{i\downarrow }$$
を考える。ここで $c_{i\sigma }$ はフェルミ粒子の消滅演算子で、反交換関係 $\{c_{i\sigma },c_{j{\sigma }^{\prime }}^{†}\}={\delta }_{ij}{\delta }_{\sigma {\sigma }^{\prime }}$, $\{c_{i\sigma },c_{j{\sigma }^{\prime }}\}=0$ を満たし、$n_{i\sigma }=c_{i\sigma }^{†}{c}_{i\sigma }$ である。$t=2$, $U=6$（エネルギーはある単位を 1 とした無次元量）とする。

電子数が 2（$\uparrow$ スピン 1 個と $\downarrow$ スピン 1 個、すなわち $S_{\text{tot}}^z=0$）の部分空間で $H$ を厳密に対角化したとき、その部分空間での最低エネルギー固有値を求めよ。答えは整数で答えよ。

BCS 平均場近似により、波数 $\mathbf{k}$ と $-\mathbf{k}$ の電子の組についてのハミルトニアンが
$$H_{\mathbf{k}}={\xi }_{\mathbf{k}}\left(c_{\mathbf{k}\uparrow }^{†}{c}_{\mathbf{k}\uparrow }+c_{-\mathbf{k}\downarrow }^{†}{c}_{-\mathbf{k}\downarrow }\right)-\Delta \left(c_{\mathbf{k}\uparrow }^{†}{c}_{-\mathbf{k}\downarrow }^{†}+c_{-\mathbf{k}\downarrow }{c}_{\mathbf{k}\uparrow }\right)$$
で与えられている。$c$ はフェルミ粒子の消滅演算子で標準的な反交換関係を満たし、${\xi }_{\mathbf{k}}$ は化学ポテンシャルから測った 1 電子エネルギー、$\Delta$ は実数のギャップである。

${\xi }_{\mathbf{k}}=0.6\mathrm{meV}$, $\Delta =0.8\mathrm{meV}$ のとき、ボゴリューボフ・ヴァラチン変換で $H_{\mathbf{k}}$ を対角化し、その基底状態（準粒子の真空）における占有数 $⟨c_{\mathbf{k}\uparrow }^{†}{c}_{\mathbf{k}\uparrow }⟩$ を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

$\hslash =k_B=1$ の単位系を使う。1 つのフェルミ粒子の準位だけからなる系
$$H=\xi c^{†}c$$
（$\{c,c^{†}\}=1$、$\xi$ は化学ポテンシャルから測ったエネルギーで実数）が温度 $T>0$ の熱平衡にある。$\beta =1/T$ とし、虚時間グリーン関数を
$$G(\tau )=-⟨T_{\tau }c(\tau )c^{†}(0)⟩,c(\tau )=e^{H\tau }c{e}^{-H\tau }(-\beta <\tau <\beta )$$
で定め、そのフーリエ変換を
$$G(i{\omega }_n)={\int }_0^{\beta }d\tau e^{i{\omega }_n\tau }G(\tau )$$
とする。ここで ${\omega }_n$ はフェルミ粒子の松原振動数で、${\omega }_n=(2n+1)\pi T$（$n$ は整数）と番号を付ける。

$\xi =\pi T$ のとき、$n=0$ の松原振動数 ${\omega }_0=\pi T$ における $G(i{\omega }_0)$ を $T$ を用いて表せ。答えは $a+bi$（$a,b$ は実数）の形にまとめよ。

ハミルトニアン $H$ をもつ量子系が温度 $T$ の熱平衡にある。$\hslash$ はディラック定数、$k_B$ はボルツマン定数、$\beta =1/(k_{B}T)$ とし、$⟨\cdots ⟩$ は熱平衡での期待値を表す。エルミート演算子 $A$（$⟨A⟩=0$ とする）のハイゼンベルク表示を $A(t)=e^{iHt/\hslash }A{e}^{-iHt/\hslash }$ とし、ゆらぎのスペクトルを
$$S(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }dt{e}^{i\omega t}⟨A(t)A(0)⟩$$
で定める。また、摂動 $H^{\prime }(t)=-Af(t)$ に対する $A$ 自身の線形応答 $\delta ⟨A(t)⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }d{t}^{\prime }\chi (t-t^{\prime })f(t^{\prime })$ の応答関数を
$$\chi (t)=\frac{i}{\hslash }\theta (t)⟨[A(t),A(0)]⟩,\chi (\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }dt{e}^{i\omega t}\chi (t)={\chi }^{\prime }(\omega )+i{\chi }^{\prime \prime }(\omega )$$
（$\theta$ は階段関数、${\chi }^{\prime }$, ${\chi }^{\prime \prime }$ は実数）で定める。

ある角振動数 ${\omega }_0>0$ で $\hslash {\omega }_0=k_{B}T\log 3$ が成り立ち、そこでの応答関数の虚部が ${\chi }^{\prime \prime }({\omega }_0)={\chi }_0$ と測定された。揺動散逸定理を用いて $S({\omega }_0)$ を $\hslash$ と ${\chi }_0$ で表せ。

質量 $m$ のボース粒子が体積 $V$ の箱（周期境界条件）に一様な数密度 $n$ で入っており、粒子間には接触型の相互作用がはたらく。ハミルトニアンは
$$H=\sum _{\mathbf{k}}{\epsilon }_k{a}_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{\mathbf{k}}+\frac{g}{2V}\sum _{\mathbf{k},{\mathbf{k}}^{\prime },\mathbf{q}}{a}_{\mathbf{k}+\mathbf{q}}^{†}{a}_{{\mathbf{k}}^{\prime }-\mathbf{q}}^{†}{a}_{{\mathbf{k}}^{\prime }}{a}_{\mathbf{k}},{\epsilon }_k=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$$
で、$g>0$ とする。絶対零度で、ほとんどの粒子が $\mathbf{k}=0$ に凝縮しているとして、ボゴリューボフ近似（$a_0,a_0^{†}$ を $\sqrt{N_0}$ で置き換え、$\mathbf{k}\ne 0$ の演算子について 2 次の項まで残し、$N_0\approx N=nV$ とする）を用いる。

音速を $c=\sqrt{gn/m}$ とする。${\epsilon }_k=\frac{gn}{4}$ を満たす波数 $k$ の素励起のエネルギー $E_k$ と、同じ波数で音速から決まるエネルギー $\hslash ck$ との比 $\frac{E_k}{\hslash ck}$ を求めよ。答えは根号を含む最も簡単な形で答えよ。

格子定数 $1$ の 2 次元正方格子上の反強磁性ハイゼンベルク模型
$$H=J\sum _{⟨i,j⟩}{\mathbf{S}}_i\cdot {\mathbf{S}}_j(J>0)$$
を考える。和は最近接のサイトの組（各組 1 回）についてとり、スピンの大きさは $S$、$\hslash =1$ とする。古典的なネール状態（副格子 A が $+z$、副格子 B が $-z$ 向き）のまわりで、ホルシュタイン・プリマコフ変換を用いてボース演算子の 2 次まで展開する線形スピン波近似を用いる。

波数 $\mathbf{k}=\left(\frac{\pi }{2},0\right)$ のスピン波の励起エネルギー ${\omega }_{\mathbf{k}}$ を $J$, $S$ を用いて表せ。

$\hslash =k_B=1$ とする。BCS 模型で、ペアリング相互作用はフェルミ面からエネルギー ${\omega }_D$ 以内の電子の間にだけ一定の引力 $-V$（$V>0$）としてはたらき、その範囲でフェルミ面の状態密度（1 スピンあたり）は一定値 $N(0)$ とする。温度 $T$ でのギャップ方程式は、等方的な $s$ 波のギャップ $\Delta$ について
$$1=N(0)V{\int }_0^{{\omega }_D}d\xi \frac{\tanh \left(\frac{E}{2T}\right)}{E},E=\sqrt{{\xi }^2+{\Delta }^2}$$
である。

$N(0)V=\frac{1}{\log 4}$ のとき、絶対零度でのギャップ ${\Delta }_0$（$>0$）と ${\omega }_D$ の比 $\frac{{\Delta }_0}{{\omega }_D}$ を、弱結合近似を使わずにギャップ方程式を厳密に解いて求めよ。答えは既約分数で答えよ。

$\hslash =k_B=1$ とし、温度 $T>0$、$\beta =1/T$ とする。フェルミ粒子の松原振動数 ${\omega }_n=(2n+1)\pi T$（$n$ はすべての整数）についての和
$$S=T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{{\omega }_n^2+{\xi }^2}$$
を考える。ただし $\xi >0$ は実数である。

$\xi =T\log 3$ のとき、$S$ を $T$ を用いて表せ。

単位胞 $n$（$n$ は整数、格子定数 $1$）ごとに副格子 A, B のサイトをもつ 1 次元の鎖を考える。スピンのないフェルミ粒子のハミルトニアンは
$$H=\sum _n\left(t_1{c}_{A,n}^{†}{c}_{B,n}+t_2{c}_{A,n}^{†}{c}_{B,n+1}+t_3{c}_{A,n}^{†}{c}_{B,n+2}+\text{h.c.}\right)$$
で、ホッピングは $t_1=1$, $t_2=2$, $t_3=4$（ある単位で測った実数）である。周期境界条件のもとで $c_{X,n}=\frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_k{e}^{ikn}{c}_{X,k}$（$X=A,B$）とフーリエ変換すると $H={\sum }_k\left(\begin{array}{cc}{c}_{A,k}^{†}& c_{B,k}^{†}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& q(k)\\ q(k{)}^{\ast }& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_{A,k}\\ c_{B,k}\end{array}\right)$ の形になる。

この模型の巻き付き数
$$W=\frac{1}{2\pi i}{\int }_0^{2\pi }\frac{d}{dk}\log q(k)dk$$
を求めよ。

2 つのボース粒子のモードの消滅演算子を $a,b$ とし、次の交換関係を満たすとする。
$$[a,a^{†}]=[b,b^{†}]=1,[a,b]=[a,b^{†}]=[a,a]=[b,b]=0$$
真空 $|0⟩$ は $a|0⟩=b|0⟩=0$, $⟨0|0⟩=1$ を満たす。$p,q$ を 0 以上の整数とし、状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{p!q!}}(a^{†}{)}^p(b^{†}{)}^q|0⟩$$
を考える。演算子
$$J_x=\frac{1}{2}\left(a^{†}b+b^{†}a\right)$$
について、期待値 $⟨\psi |J_x^2|\psi ⟩$ を $p,q$ の式で求めよ。

自然単位系 $\hslash =k_B=1$ を用いる。2 次元の超伝導体を考える。フェルミ面は円筒状で、フェルミ面上の角度を $\phi$ とする。フェルミ準位近くの 1 スピンあたりの状態密度は定数 $N(0)$ とする。ペアリング相互作用は
$$V_{\mathbf{k}{\mathbf{k}}^{\prime }}=-V\cos 2\phi \cos 2{\phi }^{\prime }(|{\xi }_{\mathbf{k}}|,|{\xi }_{{\mathbf{k}}^{\prime }}|<{\omega }_D),V_{\mathbf{k}{\mathbf{k}}^{\prime }}=0(\text{それ以外})$$
とする。ここで $V>0$ であり、${\xi }_{\mathbf{k}}$ はフェルミ準位から測った一電子エネルギーである。平均場（BCS）近似では、ギャップは ${\Delta }_{\mathbf{k}}=\Delta (T)\cos 2\phi$（$d$ 波）の形をとる。$\Delta (T)$ が満たすギャップ方程式は
$$1=N(0)V{\int }_0^{2\pi }\frac{d\phi }{2\pi }{\cos }^{2}2\phi {\int }_{-{\omega }_D}^{{\omega }_D}d\xi \frac{\tanh \left(E/2T\right)}{2E},E=\sqrt{{\xi }^2+\Delta (T{)}^2{\cos }^{2}2\phi }$$
である。弱結合 $N(0)V\ll 1$ を仮定する。このとき転移温度 $T_c$ と ${\Delta }_0\equiv \Delta (T=0)$ はともに ${\omega }_D$ より十分小さい。必要なら次の式を用いてよい（$\gamma$ はオイラー定数）。
$${\int }_0^{\Lambda }\frac{\tanh x}{x}dx\simeq \log \frac{4e^{\gamma }\Lambda }{\pi }(\Lambda \gg 1),{\int }_0^a\frac{d\xi }{\sqrt{{\xi }^2+b^2}}\simeq \log \frac{2a}{b}(a\gg b>0),$$
$${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}x\log (\cos x)dx=\frac{\pi }{8}\left(1-2\log 2\right).$$
比 ${\Delta }_0/T_c$ を、$\gamma =0.5772$ として有効数字 3 桁で求めよ。

スピンを持たないフェルミ粒子の 1 次元鎖を考える。単位胞 $n$（$n=1,2,\dots ,N$）には副格子 A, B のサイトが 1 つずつあり、それぞれの消滅演算子を $a_n,b_n$ とする。周期境界条件 $a_{n+N}=a_n,b_{n+N}=b_n$ を課し、ハミルトニアンを
$$H=\sum _{n=1}^N\left[v{a}_n^{†}{b}_n+w_1{a}_{n+1}^{†}{b}_n+w_2{a}_{n+2}^{†}{b}_n+\text{h.c.}\right]$$
とする。ホッピング振幅は実数で、$v=\frac{1}{2}$, $w_1=1$, $w_2=1$ とする（化学ポテンシャル・オンサイトポテンシャルはない）。

フーリエ変換を $a_n=\frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_k{e}^{ikn}{a}_k$, $b_n=\frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_k{e}^{ikn}{b}_k$（$k=2\pi m/N$, 格子定数を 1 とする）で定め、
$$H=\sum _k\left(\begin{array}{cc}{a}_k^{†}& b_k^{†}\end{array}\right)h(k)\left(\begin{array}{c}{a}_k\\ b_k\end{array}\right)$$
と書く。$h(k)$ の $(B,A)$ 成分（$b_k^{†}{a}_k$ の係数）を $q(k)$ とし、巻き付き数を
$$W=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\pi }^{\pi }dk\frac{d}{dk}\log q(k)$$
で定義する（$N\to \infty$ で $k$ は連続とみなす）。このとき $W$ の値を求めよ。

3 つのサイト $j=1,2,3$ が正三角形の頂点に並び、サイトの組 $(1,2),(2,3),(3,1)$ がそれぞれ 1 本のボンドで結ばれた系（周期境界条件の 3 サイト環）を考える。ハミルトニアンを
$$H=-t\sum _{j=1}^3\sum _{\sigma =\uparrow ,\downarrow }\left(c_{j+1,\sigma }^{†}{c}_{j\sigma }+c_{j\sigma }^{†}{c}_{j+1,\sigma }\right)+U\sum _{j=1}^3{n}_{j\uparrow }{n}_{j\downarrow }(c_{4\sigma }\equiv c_{1\sigma })$$
とする（各ボンドは和の中でちょうど 1 回ずつ現れる）。ここで $c_{j\sigma }$ はサイト $j$・スピン $\sigma$ の電子（スピン $1/2$ のフェルミオン）の消滅演算子で、反交換関係 $\{c_{i\sigma },c_{j{\sigma }^{\prime }}^{†}\}={\delta }_{ij}{\delta }_{\sigma {\sigma }^{\prime }}$ を満たし、$n_{j\sigma }=c_{j\sigma }^{†}{c}_{j\sigma }$ である。飛び移り積分は $t>0$（符号に注意）、オンサイト斥力は $U=5t$ とする。

電子数を 2 とし（全粒子数演算子の固有値が 2）、全スピンや $S^z$ は制限せず、電子数 2 のすべての状態の中でエネルギーが最低の固有状態を基底状態とする（この基底状態は縮退していない）。規格化した基底状態における全二重占有数
$$D=⟨\sum _{j=1}^3{n}_{j\uparrow }{n}_{j\downarrow }⟩$$
を既約分数で求めよ。

体積 $V$ の箱（周期境界条件）に閉じ込められた、質量 $m$ の 2 種類のボース粒子 A, B からなる一様な 3 次元の混合ボース気体を考える。$a_{\mathbf{k}},b_{\mathbf{k}}$ をそれぞれ A, B の運動量 $\hslash \mathbf{k}$ の消滅演算子とし、ハミルトニアンを
$$H=\sum _{\mathbf{k}}{\epsilon }_k\left(a_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{\mathbf{k}}+b_{\mathbf{k}}^{†}{b}_{\mathbf{k}}\right)+\frac{g}{2V}\sum _{\mathbf{p},\mathbf{k},\mathbf{q}}\left(a_{\mathbf{p}+\mathbf{q}}^{†}{a}_{\mathbf{k}-\mathbf{q}}^{†}{a}_{\mathbf{k}}{a}_{\mathbf{p}}+b_{\mathbf{p}+\mathbf{q}}^{†}{b}_{\mathbf{k}-\mathbf{q}}^{†}{b}_{\mathbf{k}}{b}_{\mathbf{p}}\right)+\frac{g_{12}}{V}\sum _{\mathbf{p},\mathbf{k},\mathbf{q}}{a}_{\mathbf{p}+\mathbf{q}}^{†}{b}_{\mathbf{k}-\mathbf{q}}^{†}{b}_{\mathbf{k}}{a}_{\mathbf{p}}$$
とする。ここで ${\epsilon }_k=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$ であり、接触相互作用の結合定数 $g,g_{12}$ は $0<g_{12}<g$ を満たす定数とする。A, B の粒子数密度はともに $n$ である。

絶対零度において、両成分とも $\mathbf{k}=0$ の状態にボース凝縮しているとし、ボゴリューボフ近似（$a_0,b_0$ を c 数 $\sqrt{nV}$ で置き換え、$\mathbf{k}\ne 0$ の演算子について 2 次の項までを残す。2 次の項の係数に現れる凝縮体密度は $n$ で近似する）を用いる。また $V\to \infty$ として $\frac{1}{V}{\sum }_{\mathbf{k}}\to \int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}$ とし、$g,g_{12}$ の繰り込みは考えない。

このとき、成分 A の非凝縮粒子の密度（量子枯渇）
$$n_A^{\prime }=\frac{1}{V}\sum _{\mathbf{k}\ne 0}⟨a_{\mathbf{k}}^{†}{a}_{\mathbf{k}}⟩$$
を、$m,n,g,g_{12},\hslash$ を用いて表せ。

2 つのボゾンのモードの消滅演算子を $a,b$ とする。交換関係は
$$[a,a^{†}]=[b,b^{†}]=1,[a,b]=[a,b^{†}]=[a,a]=[b,b]=0$$
とする。$\Delta >0$ をエネルギーの単位とし、ハミルトニアンを
$$H=\Delta \left[14\left(a^{†}a+b^{†}b\right)+\left(a^{†}b+b^{†}a\right)+12\left(a^{†}{b}^{†}+ab\right)\right]$$
とする。この $H$ の基底状態（縮退はない）における $a$ モードの粒子数の期待値 $⟨a^{†}a⟩$ を求めよ。答えは既約分数で示せ。