多体系の量子論・物性理論の問題

2 つの独立なボース粒子のモードがあり、それぞれの消滅演算子を $a$, $b$ とする。これらは
$$[a,a^{†}]=[b,b^{†}]=1,[a,b]=[a,b^{†}]=[a^{†},b]=[a^{†},b^{†}]=0$$
を満たす。真空 $|0⟩$（$a|0⟩=b|0⟩=0$, $⟨0|0⟩=1$）から作った規格化されたフォック状態
$$|\Psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{3!}}\frac{1}{\sqrt{2!}}(a^{†}{)}^3(b^{†}{)}^2|0⟩$$
について、期待値 $⟨\Psi |a^{†}b{b}^{†}a|\Psi ⟩$ を求めよ。

2 つのボゾンのモードの消滅演算子を $a,b$ とする。交換関係は
$$[a,a^{†}]=[b,b^{†}]=1,[a,b]=[a,b^{†}]=[a,a]=[b,b]=0$$
とする。$\Delta >0$ をエネルギーの単位とし、ハミルトニアンを
$$H=\Delta \left[14\left(a^{†}a+b^{†}b\right)+\left(a^{†}b+b^{†}a\right)+12\left(a^{†}{b}^{†}+ab\right)\right]$$
とする。この $H$ の基底状態（縮退はない）における $a$ モードの粒子数の期待値 $⟨a^{†}a⟩$ を求めよ。答えは既約分数で示せ。

スピンを持たないフェルミ粒子の 1 次元鎖を考える。単位胞 $n$（$n=1,2,\dots ,N$）には副格子 A, B のサイトが 1 つずつあり、それぞれの消滅演算子を $a_n,b_n$ とする。周期境界条件 $a_{n+N}=a_n,b_{n+N}=b_n$ を課し、ハミルトニアンを
$$H=\sum _{n=1}^N\left[v{a}_n^{†}{b}_n+w_1{a}_{n+1}^{†}{b}_n+w_2{a}_{n+2}^{†}{b}_n+\text{h.c.}\right]$$
とする。ホッピング振幅は実数で、$v=\frac{1}{2}$, $w_1=1$, $w_2=1$ とする（化学ポテンシャル・オンサイトポテンシャルはない）。

フーリエ変換を $a_n=\frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_k{e}^{ikn}{a}_k$, $b_n=\frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_k{e}^{ikn}{b}_k$（$k=2\pi m/N$, 格子定数を 1 とする）で定め、
$$H=\sum _k\left(\begin{array}{cc}{a}_k^{†}& b_k^{†}\end{array}\right)h(k)\left(\begin{array}{c}{a}_k\\ b_k\end{array}\right)$$
と書く。$h(k)$ の $(B,A)$ 成分（$b_k^{†}{a}_k$ の係数）を $q(k)$ とし、巻き付き数を
$$W=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\pi }^{\pi }dk\frac{d}{dk}\log q(k)$$
で定義する（$N\to \infty$ で $k$ は連続とみなす）。このとき $W$ の値を求めよ。

自然単位系 $\hslash =k_B=1$ を用いる。2 次元の超伝導体を考える。フェルミ面は円筒状で、フェルミ面上の角度を $\phi$ とする。フェルミ準位近くの 1 スピンあたりの状態密度は定数 $N(0)$ とする。ペアリング相互作用は
$$V_{\mathbf{k}{\mathbf{k}}^{\prime }}=-V\cos 2\phi \cos 2{\phi }^{\prime }(|{\xi }_{\mathbf{k}}|,|{\xi }_{{\mathbf{k}}^{\prime }}|<{\omega }_D),V_{\mathbf{k}{\mathbf{k}}^{\prime }}=0(\text{それ以外})$$
とする。ここで $V>0$ であり、${\xi }_{\mathbf{k}}$ はフェルミ準位から測った一電子エネルギーである。平均場（BCS）近似では、ギャップは ${\Delta }_{\mathbf{k}}=\Delta (T)\cos 2\phi$（$d$ 波）の形をとる。$\Delta (T)$ が満たすギャップ方程式は
$$1=N(0)V{\int }_0^{2\pi }\frac{d\phi }{2\pi }{\cos }^{2}2\phi {\int }_{-{\omega }_D}^{{\omega }_D}d\xi \frac{\tanh \left(E/2T\right)}{2E},E=\sqrt{{\xi }^2+\Delta (T{)}^2{\cos }^{2}2\phi }$$
である。弱結合 $N(0)V\ll 1$ を仮定する。このとき転移温度 $T_c$ と ${\Delta }_0\equiv \Delta (T=0)$ はともに ${\omega }_D$ より十分小さい。必要なら次の式を用いてよい（$\gamma$ はオイラー定数）。
$${\int }_0^{\Lambda }\frac{\tanh x}{x}dx\simeq \log \frac{4e^{\gamma }\Lambda }{\pi }(\Lambda \gg 1),{\int }_0^a\frac{d\xi }{\sqrt{{\xi }^2+b^2}}\simeq \log \frac{2a}{b}(a\gg b>0),$$
$${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}x\log (\cos x)dx=\frac{\pi }{8}\left(1-2\log 2\right).$$
比 ${\Delta }_0/T_c$ を、$\gamma =0.5772$ として有効数字 3 桁で求めよ。

サイト数 $N$ の 1 次元格子（格子定数 $1$、周期境界条件 $c_{n+N}=c_n$）上のスピンをもたないフェルミ粒子を考える。ハミルトニアンは、最近接と第 2 近接のホッピングを含む強束縛模型
$$H=-t_1\sum _{n=1}^N\left(c_{n+1}^{†}{c}_n+c_n^{†}{c}_{n+1}\right)-t_2\sum _{n=1}^N\left(c_{n+2}^{†}{c}_n+c_n^{†}{c}_{n+2}\right)$$
で与えられる。ここで $c_n$ はサイト $n$ の消滅演算子で $\{c_n,c_m^{†}\}={\delta }_{nm}$ を満たし、$t_1$, $t_2$ は実数の定数である。フーリエ変換
$$c_n=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _k{e}^{ikn}{c}_k\left(k=\frac{2\pi m}{N},m=0,1,\dots ,N-1\right)$$
によって $H=\sum _k\epsilon (k)c_k^{†}{c}_k$ と書けるとき、バンドのエネルギー $\epsilon (k)$ を $t_1$, $t_2$, $k$ を用いて表せ。