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多体系の量子論・物性理論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院物理多体系の量子論・物性理論

自然単位系 $ℏ = k_{B} = 1$ を用いる。2 次元の超伝導体を考える。フェルミ面は円筒状で、フェルミ面上の角度を $φ$ とする。フェルミ準位近くの 1 スピンあたりの状態密度は定数 $N (0)$ とする。ペアリング相互作用は
$V_{k k^{'}} = - V cos 2 φ cos 2 φ^{'} (∣ ξ_{k} ∣, ∣ ξ_{k^{'}} ∣ < ω_{D}), V_{k k^{'}} = 0 (それ以外)$
とする。ここで $V > 0$ であり、 $ξ_{k}$ はフェルミ準位から測った一電子エネルギーである。平均場（BCS）近似では、ギャップは $Δ_{k} = Δ (T) cos 2 φ$ （ $d$ 波）の形をとる。 $Δ (T)$ が満たすギャップ方程式は
$1 = N (0) V \int_{0}^{2 π} \frac{d φ}{2 π} cos^{2} 2 φ \int_{- ω_{D}}^{ω_{D}} d ξ \frac{tanh ( E /2 T )}{2 E}, E = ξ^{2} + Δ (T)^{2} cos^{2} 2 φ$
である。弱結合 $N (0) V ≪ 1$ を仮定する。このとき転移温度 $T_{c}$ と $Δ_{0} \equiv Δ (T = 0)$ はともに $ω_{D}$ より十分小さい。必要なら次の式を用いてよい（ $γ$ はオイラー定数）。
$\int_{0}^{Λ} \frac{tanh x}{x} d x ≃ lo g \frac{4 e ^{γ} Λ}{π} (Λ ≫ 1), \int_{0}^{a} \frac{d ξ}{ξ ^{2} + b ^{2}} ≃ lo g \frac{2 a}{b} (a ≫ b > 0),$
$\int_{0}^{π /2} cos^{2} x lo g (cos x) d x = \frac{π}{8} (1 - 2 lo g 2) .$
比 $Δ_{0} / T_{c}$ を、 $γ = 0.5772$ として有効数字 3 桁で求めよ。

この問題で使うもの

BCS のギャップ方程式と転移温度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（167 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$T = T_{c}$ （ $Δ \to 0$ ）と $T = 0$ の 2 つの場合でギャップ方程式の $ξ$ 積分を実行し、どちらも $1/ (N (0) V)$ に等しいとおいて比べる。

ヒント 2

$T_{c}$ では $ξ$ 積分が $lo g (2 e^{γ} ω_{D} / π T_{c})$ になる。 $T = 0$ では $ξ$ 積分が $lo g (2 ω_{D} / (Δ_{0} ∣ cos 2 φ ∣))$ となり、角度平均 $⟨ cos^{2} 2 φ lo g ∣ cos 2 φ ∣ ⟩$ が補正として現れる。

ヒント 3

$⟨ cos^{2} 2 φ lo g ∣ cos 2 φ ∣ ⟩ = (1 - 2 lo g 2) /4$ である。2 つの式から $ω_{D}$ を消去すると $lo g (Δ_{0} / T_{c}) = lo g (π e^{- γ}) + (定数)$ の形になる。

答えと解説

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2.14

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解説を読む

転移温度 $T_{c}$ . $T \to T_{c}$ では $Δ \to 0$ なので $E = ∣ ξ ∣$ となる。角度平均は $⟨ cos^{2} 2 φ ⟩ = 1/2$ である。被積分関数は $ξ$ について偶関数なので
$\int_{- ω_{D}}^{ω_{D}} d ξ \frac{tanh ( ξ /2 T _{c} )}{2 ξ} = \int_{0}^{ω_{D}} \frac{tanh ( ξ /2 T _{c} )}{ξ} d ξ = \int_{0}^{ω_{D} /2 T_{c}} \frac{tanh x}{x} d x ≃ lo g \frac{2 e ^{γ} ω _{D}}{π T _{c}}$
となる（ $ω_{D} /2 T_{c} ≫ 1$ なので与えられた漸近式が使える）。よって
$\frac{1}{N ( 0 ) V} = \frac{1}{2} lo g \frac{2 e ^{γ} ω _{D}}{π T _{c}} . (1)$

$T = 0$ のギャップ $Δ_{0}$ . $T = 0$ では $tanh (E /2 T) = 1$ である。 $a = ω_{D}$ 、 $b = Δ_{0} ∣ cos 2 φ ∣$ とおくと $a ≫ b$ なので
$\int_{- ω_{D}}^{ω_{D}} \frac{d ξ}{2 E} = \int_{0}^{ω_{D}} \frac{d ξ}{ξ ^{2} + Δ _{0}^{2} cos ^{2} 2 φ} ≃ lo g \frac{2 ω _{D}}{Δ _{0} ∣ cos 2 φ ∣}$
となる（ $cos 2 φ$ が $0$ に近い角度でもこの対数は積分可能で、弱結合の主要項には影響しない）。したがって
$\frac{1}{N ( 0 ) V} = \frac{1}{2} lo g \frac{2 ω _{D}}{Δ _{0}} - ⟨ cos^{2} 2 φ lo g ∣ cos 2 φ ∣ ⟩ . (2)$

角度平均の計算. $θ = 2 φ$ とおく。 $θ$ は周期 $π$ で一様に分布し、 $cos^{2} θ lo g ∣ cos θ ∣$ は $[0, π /2]$ と $[π /2, π]$ で対称なので
$⟨ cos^{2} θ lo g ∣ cos θ ∣ ⟩ = \frac{2}{π} \int_{0}^{π /2} cos^{2} x lo g (cos x) d x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{8} (1 - 2 lo g 2) = \frac{1 - 2 lo g 2}{4} .$

比を求める. $(1)$ と $(2)$ の右辺を等しいとおき、両辺を 2 倍すると
$lo g \frac{2 e ^{γ} ω _{D}}{π T _{c}} = lo g \frac{2 ω _{D}}{Δ _{0}} - \frac{1 - 2 lo g 2}{2}$
となる。これを整理すると
$lo g \frac{Δ _{0}}{T _{c}} = lo g (π e^{- γ}) - \frac{1}{2} + lo g 2$
である。よって
$\frac{Δ _{0}}{T _{c}} = 2 π e^{- γ - 1/2}$
となる。カットオフ $ω_{D}$ と結合定数は消えるので、この比は普遍的である。

数値. $e^{- γ} = e^{- 0.5772} \approx 0.5615$ 、 $π e^{- γ} \approx 1.764$ 、 $e^{- 1/2} \approx 0.6065$ より
$\frac{Δ _{0}}{T _{c}} \approx 2 \times 1.764 \times 0.6065 \approx 2.14.$
（参考: 等方的な $s$ 波では $Δ_{0} / T_{c} = π e^{- γ} \approx 1.76$ である。 $d$ 波ではギャップの角度依存性のぶん、この比が大きくなる。）

別解

弱結合なので、 $T_{c}$ と $Δ_{0}$ のギャップ方程式をそれぞれ対数の形に直し、 $ω_{D}$ と $N (0) V$ を消去して比を求める。

$T_{c}$ : $Δ \to 0$ とすると、角度平均は $⟨ cos^{2} 2 φ ⟩ = 1/2$ である。 $ξ$ 積分は偶関数なので $\int_{- ω_{D}}^{ω_{D}} d ξ tanh (ξ /2 T) / (2 ξ) = \int_{0}^{ω_{D}} d ξ tanh (ξ /2 T) / ξ$ となる。 $x = ξ /2 T$ 、 $Λ = ω_{D} /2 T_{c}$ とおいて与えられた式を使うと
$\frac{1}{N ( 0 ) V} = \frac{1}{2} lo g \frac{4 e ^{γ} ω _{D}}{2 π T _{c}} = \frac{1}{2} lo g \frac{2 e ^{γ} ω _{D}}{π T _{c}} .$

$T = 0$ : $tanh \to 1$ なので $\int_{- ω_{D}}^{ω_{D}} d ξ \frac{1}{2 E} = \int_{0}^{ω_{D}} \frac{d ξ}{E} = lo g \frac{2 ω _{D}}{Δ _{0} ∣ c o s 2 φ ∣}$ となる。これを角度平均すると
$\frac{1}{N ( 0 ) V} = \frac{1}{2} lo g \frac{2 ω _{D}}{Δ _{0}} - ⟨ cos^{2} 2 φ lo g ∣ cos 2 φ ∣ ⟩ .$
角度平均は与えられた積分を使って
$⟨ cos^{2} 2 φ lo g ∣ cos 2 φ ∣ ⟩ = \frac{2}{π} \int_{0}^{π /2} cos^{2} x lo g cos x d x = \frac{1 - 2 lo g 2}{4} .$
よって
$\frac{1}{N ( 0 ) V} = \frac{1}{2} lo g \frac{2 ω _{D}}{Δ _{0}} - \frac{1 - 2 lo g 2}{4} .$

比の導出: 両者を等しいとおいて 2 倍すると
$lo g \frac{2 ω _{D}}{Δ _{0}} - \frac{1 - 2 lo g 2}{2} = lo g \frac{2 e ^{γ} ω _{D}}{π T _{c}} .$
整理すると $lo g \frac{π T _{c}}{e ^{γ} Δ _{0}} = \frac{1 - 2 l o g 2}{2}$ なので
$\frac{Δ _{0}}{T _{c}} = \frac{π}{e ^{γ}} e^{- (1 - 2 l o g 2) /2} = \frac{2 π}{e ^{γ} e} .$

数値: $γ = 0.5772$ で $e^{γ} = 1.78106$ 、 $π / e^{γ} = 1.7639$ 、 $2 e^{- 1/2} = 1.21306$ である。したがって $Δ_{0} / T_{c} \approx 1.7639 \times 1.21306 \approx 2.140$ 。

検算: s 波 BCS では $π / e^{γ} = 1.764$ であり、今回はそれに $2 e^{- 1/2} \approx 1.21$ がかかって約 2.14 になる。d 波で比が s 波より大きくなる傾向と整合する。

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