BCS のギャップ方程式と転移温度

ギャップ方程式 $1 = N (0) V \int_{0}^{ω_{D}} d ξ \frac{t a n h ( E /2 T )}{E}$ を弱結合で解き、 $T_{c} = \frac{2 e ^{γ}}{π} ω_{D} e^{- 1/ N (0) V}$ 、 $Δ_{0} = 2 ω_{D} e^{- 1/ N (0) V}$ とその比（ $s$ 波・異方的なギャップ）を求められる

前提

BCS 平均場近似と準粒子（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
三角関数の積分（数学III 積分法）

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算数中学高校大学大学院

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大正準分布とボース分布・フェルミ分布（大学物理統計力学）
BCS 平均場近似と準粒子（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
三角関数の積分（数学III 積分法）

説明

BCS 平均場近似では、ギャップ $Δ$ 自身が準粒子の状態から決まる期待値で書かれるため、 $Δ$ を決める自己無撞着な式（ギャップ方程式）が得られます。この技能では、フェルミ面近傍の幅 $ω_{D}$ の殻の中だけで一定の引力 $V$ が働くという BCS のモデルでギャップ方程式を $1 = N (0) V \int_{0}^{ω_{D}} d ξ \frac{t a n h ( E /2 T )}{E}$ の形にし、弱結合 $N (0) V ≪ 1$ で解いて、絶対零度のギャップ $Δ_{0} = 2 ω_{D} e^{- 1/ N (0) V}$ と転移温度 $T_{c} = \frac{2 e ^{γ}}{π} ω_{D} e^{- 1/ N (0) V}$ 、さらにその比 $Δ_{0} / T_{c} = π e^{- γ} \approx 1.76$ を求めます。ギャップが方向によって変わる異方的な場合にも同じ手順が使えます。

なぜそうしてよいのか

$ℏ = k_{B} = 1$ とします。前提の技能から、ギャップ方程式は $Δ_{k} = - \sum_{k^{'}} V_{k k^{'}} \frac{Δ _{k^{'}}}{2 E _{k^{'}}} (1 - 2 f (E_{k^{'}}))$ （ $f$ はフェルミ分布、 $E_{k} = ξ_{k}^{2} + ∣ Δ_{k} ∣^{2}$ ）です。 $1 - 2 f (E) = 1 - \frac{2}{e ^{E / T} + 1} = \frac{e ^{E / T} - 1}{e ^{E / T} + 1} = tanh \frac{E}{2 T}$ （ $tanh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}$ ）と書けます。BCS のモデルでは $∣ ξ_{k} ∣, ∣ ξ_{k^{'}} ∣ < ω_{D}$ のとき $V_{k k^{'}} = - V$ （ $V > 0$ の引力）、それ以外で 0 とします。すると右辺は $k$ によらないので殻の中で $Δ_{k} = Δ$ と一定になり、両辺を $Δ \neq = 0$ で割ると $1 = V \sum_{k^{'}} \frac{t a n h ( E _{k^{'}} /2 T )}{2 E _{k^{'}}}$ です。和をフェルミ面での 1 スピンあたりの状態密度 $N (0)$ を使って $\sum_{k^{'}} \to N (0) \int_{- ω_{D}}^{ω_{D}} d ξ$ と置きかえ、被積分関数が $ξ$ の偶関数であることを使うと $1 = N (0) V \int_{0}^{ω_{D}} d ξ \frac{tanh ( ξ ^{2} + Δ ^{2} /2 T )}{ξ ^{2} + Δ ^{2}}$ となります。 $λ = N (0) V$ とおきます。

$T = 0$ では $tanh \to 1$ で、 $\int_{0}^{ω_{D}} \frac{d ξ}{ξ ^{2} + Δ ^{2}} = [lo g (ξ + ξ^{2} + Δ^{2})]_{0}^{ω_{D}} = lo g \frac{ω _{D} + ω _{D}^{2} + Δ ^{2}}{Δ}$ （微分して確かめられる）。弱結合ではギャップが $ω_{D}$ よりずっと小さいので、 $ω_{D}^{2} + Δ^{2} \approx ω_{D}$ として $1 = λ lo g \frac{2 ω _{D}}{Δ _{0}}$ 、すなわち $Δ_{0} = 2 ω_{D} e^{- 1/ λ}$ です。 $e^{- 1/ λ}$ は $λ \to 0$ で $λ$ のどんなべきよりも速く 0 に近づくので、この結果は $λ$ についてのテイラー展開（摂動論）では決して得られません。

$T_{c}$ は $Δ \to 0$ となる温度なので、 $1 = λ \int_{0}^{ω_{D}} d ξ \frac{t a n h ( ξ /2 T _{c} )}{ξ}$ を解きます。 $x = ξ /2 T_{c}$ とおいて部分積分すると $\int_{0}^{X} d x \frac{t a n h x}{x} = tanh X lo g X - \int_{0}^{X} \frac{l o g x}{c o s h ^{2} x} d x$ で、弱結合では $X = ω_{D} /2 T_{c} ≫ 1$ なので $tanh X \approx 1$ とし、残りの積分の上端を $\infty$ にできます。既知の定積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{l o g x}{c o s h ^{2} x} d x = - lo g \frac{4 e ^{γ}}{π}$ （ $γ \approx 0.5772$ はオイラー定数 $γ = lim_{n \to \infty} (\sum_{j = 1}^{n} \frac{1}{j} - lo g n)$ ）を使うと $1 = λ lo g \frac{2 e ^{γ} ω _{D}}{π T _{c}}$ 、すなわち $T_{c} = \frac{2 e ^{γ}}{π} ω_{D} e^{- 1/ λ} \approx 1.13 ω_{D} e^{- 1/ λ}$ です。 $ω_{D}$ と $λ$ は比で消え、 $\frac{Δ _{0}}{T _{c}} = \frac{π}{e ^{γ}} \approx 1.764$ （ $2 Δ_{0} \approx 3.53 T_{c}$ ）は物質によらない普遍的な値になります。異方的な場合は $V_{k k^{'}} = - V g (ϕ) g (ϕ^{'})$ （ $ϕ$ はフェルミ面上の方向、方向平均 $⟨ g^{2} ⟩ = 1$ ）とすると $Δ_{k} = Δ g (ϕ)$ となり、 $T_{c}$ の式は同じ形、 $T = 0$ では $1 = λ ⟨ g^{2} lo g \frac{2 ω _{D}}{Δ∣ g ∣} ⟩$ から比が $\frac{Δ}{T _{c}} = \frac{π}{e ^{γ}} exp (- ⟨ g^{2} lo g ∣ g ∣ ⟩)$ に変わります。

手順

$1 - 2 f (E) = tanh \frac{E}{2 T}$ と書き、 $∣ ξ ∣ < ω_{D}$ で $V_{k k^{'}} = - V$ のモデルで $Δ_{k} = Δ$ とおいて、 $\sum_{k} \to N (0) \int_{- ω_{D}}^{ω_{D}} d ξ$ と置きかえ、 $1 = N (0) V \int_{0}^{ω_{D}} d ξ \frac{t a n h ( E /2 T )}{E}$ を得る（ $N (0)$ は 1 スピンあたり）
$T = 0$ では $tanh = 1$ として $\int_{0}^{ω_{D}} \frac{d ξ}{ξ ^{2} + Δ _{0}^{2}} = lo g \frac{ω _{D} + ω _{D}^{2} + Δ _{0}^{2}}{Δ _{0}}$ を計算し、弱結合 $Δ_{0} ≪ ω_{D}$ で $lo g \frac{2 ω _{D}}{Δ _{0}} = \frac{1}{N ( 0 ) V}$ 、 $Δ_{0} = 2 ω_{D} e^{- 1/ N (0) V}$ とする
$T = T_{c}$ では $Δ = 0$ とし、 $\int_{0}^{ω_{D}} \frac{t a n h ( ξ /2 T _{c} )}{ξ} d ξ \approx lo g \frac{2 e ^{γ} ω _{D}}{π T _{c}}$ （弱結合）から $T_{c} = \frac{2 e ^{γ}}{π} ω_{D} e^{- 1/ N (0) V}$ を求める
比 $\frac{Δ _{0}}{T _{c}} = \frac{π}{e ^{γ}} \approx 1.764$ を求める。異方的なギャップ $Δ_{k} = Δ g (ϕ)$ （ $⟨ g^{2} ⟩ = 1$ ）では、 $\frac{Δ}{T _{c}} = \frac{π}{e ^{γ}} e^{- ⟨ g^{2} l o g ∣ g ∣ ⟩}$ のように方向平均を付けて同じ計算をする

例題

$ℏ = k_{B} = 1$ とする。BCS のモデル（フェルミ面から $∣ ξ ∣ < ω_{D}$ の範囲だけで一定の引力 $V$ が働き、1 スピンあたりのフェルミ面での状態密度を $N (0)$ とする）で、 $N (0) V = \frac{1}{4}$ であった。弱結合近似（ $Δ_{0} ≪ ω_{D}$ ）で、絶対零度のギャップ $Δ_{0}$ を $ω_{D}$ で表せ。

例題の解答

手順 1: ギャップ方程式は $1 = N (0) V \int_{0}^{ω_{D}} d ξ \frac{t a n h ( E /2 T )}{E}$ 、 $E = ξ^{2} + Δ^{2}$ 。

手順 2: $T = 0$ で $tanh (E /2 T) \to 1$ 。 $\int_{0}^{ω_{D}} \frac{d ξ}{ξ ^{2} + Δ _{0}^{2}} = lo g \frac{ω _{D} + ω _{D}^{2} + Δ _{0}^{2}}{Δ _{0}} \approx lo g \frac{2 ω _{D}}{Δ _{0}}$ （ $Δ_{0} ≪ ω_{D}$ ）。よって $1 = \frac{1}{4} lo g \frac{2 ω _{D}}{Δ _{0}}$ 、 $\frac{2 ω _{D}}{Δ _{0}} = e^{4}$ で $Δ_{0} = 2 e^{- 4} ω_{D} \approx 0.037 ω_{D}$ 確かに $Δ_{0} ≪ ω_{D}$ で、弱結合近似と矛盾しない（近似を使わない式 $Δ_{0} = ω_{D} / sinh 4$ との差は $e^{- 8}$ 程度の相対誤差）。

手順 3・4（参考）: 同じ $N (0) V$ で $T_{c} = \frac{2 e ^{γ}}{π} e^{- 4} ω_{D}$ で、比 $Δ_{0} / T_{c} = π e^{- γ} \approx 1.76$ 。

答え: $2 e^{- 4} ω_{D}$

よくある誤り

$T = 0$ の積分を $lo g \frac{ω _{D}}{Δ _{0}}$ と近似して $Δ_{0} = ω_{D} e^{- 1/ N (0) V}$ としてしまう誤り。 $ω_{D} + ω_{D}^{2} + Δ_{0}^{2} \approx 2 ω_{D}$ なので、正しくは $lo g \frac{2 ω _{D}}{Δ _{0}}$ で $Δ_{0} = 2 ω_{D} e^{- 1/ N (0) V}$
$\sum_{k} \to N (0) \int_{- ω_{D}}^{ω_{D}} d ξ$ の後、 $\frac{1}{2 E}$ の $\frac{1}{2}$ と区間の対称性による 2 倍を両方落とさず二重に数えたり、 $N (0)$ を両スピン分の状態密度と取り違えたりして、指数を $e^{- 2/ N (0) V}$ や $e^{- 1/2 N (0) V}$ にしてしまう誤り。1 スピンあたりの $N (0)$ で、正しくは $1 = N (0) V \int_{0}^{ω_{D}} \frac{t a n h ( E /2 T )}{E} d ξ$
$1 - 2 f (E)$ を $tanh \frac{E}{T}$ と書いてしまう誤り。 $1 - \frac{2}{e ^{E / T} + 1} = \frac{e ^{E /2 T} - e ^{- E /2 T}}{e ^{E /2 T} + e ^{- E /2 T}}$ なので、正しくは $tanh \frac{E}{2 T}$ 。これを誤ると $T_{c}$ が 2 倍ずれる
異方的なギャップでも比 $Δ_{m a x} / T_{c}$ が $s$ 波と同じ $π e^{- γ} \approx 1.76$ になるとする誤り。 $Δ_{k} = Δ g (ϕ)$ 、 $⟨ g^{2} ⟩ = 1$ では $\frac{Δ}{T _{c}} = \frac{π}{e ^{γ}} e^{- ⟨ g^{2} l o g ∣ g ∣ ⟩}$ で、例えば 2 次元の $g = 2 cos 2 ϕ$ では $⟨ g^{2} lo g ∣ g ∣ ⟩ = \frac{1 - l o g 2}{2}$ より $\frac{Δ _{m a x}}{T _{c}} = \frac{2 Δ}{T _{c}} = \frac{2 π}{e ^{γ}} e^{- 1/2} \approx 2.14$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$ℏ = k_{B} = 1$ とする。BCS 模型で、ペアリング相互作用はフェルミ面からエネルギー $ω_{D}$ 以内の電子の間にだけ一定の引力 $- V$ （ $V > 0$ ）としてはたらき、その範囲でフェルミ面の状態密度（1 スピンあたり）は一定値 $N (0)$ とする。温度 $T$ でのギャップ方程式は、等方的な $s$ 波のギャップ $Δ$ について
$1 = N (0) V \int_{0}^{ω_{D}} d ξ \frac{tanh ( \frac{E}{2 T} )}{E}, E = ξ^{2} + Δ^{2}$
である。
$N (0) V = \frac{1}{lo g 4}$ のとき、絶対零度でのギャップ $Δ_{0}$ （ $> 0$ ）と $ω_{D}$ の比 $\frac{Δ _{0}}{ω _{D}}$ を、弱結合近似を使わずにギャップ方程式を厳密に解いて求めよ。答えは既約分数で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
自然単位系 $ℏ = k_{B} = 1$ を用いる。2 次元の超伝導体を考える。フェルミ面は円筒状で、フェルミ面上の角度を $φ$ とする。フェルミ準位近くの 1 スピンあたりの状態密度は定数 $N (0)$ とする。ペアリング相互作用は
$V_{k k^{'}} = - V cos 2 φ cos 2 φ^{'} (∣ ξ_{k} ∣, ∣ ξ_{k^{'}} ∣ < ω_{D}), V_{k k^{'}} = 0 (それ以外)$
とする。ここで $V > 0$ であり、 $ξ_{k}$ はフェルミ準位から測った一電子エネルギーである。平均場（BCS）近似では、ギャップは $Δ_{k} = Δ (T) cos 2 φ$ （ $d$ 波）の形をとる。 $Δ (T)$ が満たすギャップ方程式は
$1 = N (0) V \int_{0}^{2 π} \frac{d φ}{2 π} cos^{2} 2 φ \int_{- ω_{D}}^{ω_{D}} d ξ \frac{tanh ( E /2 T )}{2 E}, E = ξ^{2} + Δ (T)^{2} cos^{2} 2 φ$
である。弱結合 $N (0) V ≪ 1$ を仮定する。このとき転移温度 $T_{c}$ と $Δ_{0} \equiv Δ (T = 0)$ はともに $ω_{D}$ より十分小さい。必要なら次の式を用いてよい（ $γ$ はオイラー定数）。
$\int_{0}^{Λ} \frac{tanh x}{x} d x ≃ lo g \frac{4 e ^{γ} Λ}{π} (Λ ≫ 1), \int_{0}^{a} \frac{d ξ}{ξ ^{2} + b ^{2}} ≃ lo g \frac{2 a}{b} (a ≫ b > 0),$
$\int_{0}^{π /2} cos^{2} x lo g (cos x) d x = \frac{π}{8} (1 - 2 lo g 2) .$
比 $Δ_{0} / T_{c}$ を、 $γ = 0.5772$ として有効数字 3 桁で求めよ。