BCS 平均場近似と準粒子

BCS のハミルトニアンは、化学ポテンシャル $\mu$ から測った 1 電子エネルギー ${\xi }_k={\epsilon }_k-\mu$ と対相互作用 $V_{k{k}^{\prime }}$（実数で $V_{k{k}^{\prime }}=V_{k^{\prime }k}$）を使って $$H=\sum _{k\sigma }{\xi }_k{c}_{k\sigma }^{†}{c}_{k\sigma }+\sum _{k,k^{\prime }}{V}_{k{k}^{\prime }}{c}_{k\uparrow }^{†}{c}_{-k\downarrow }^{†}{c}_{-k^{\prime }\downarrow }{c}_{k^{\prime }\uparrow }$$ と書けます。超伝導状態では対を壊す演算子 $c_{-k^{\prime }\downarrow }{c}_{k^{\prime }\uparrow }$ が 0 でない期待値 $b_{k^{\prime }}=⟨c_{-k^{\prime }\downarrow }{c}_{k^{\prime }\uparrow }⟩$ をもち、その周りのゆらぎは小さいと考えます。$A=⟨A⟩+\delta A$ とおいて $AB\approx ⟨A⟩B+A⟨B⟩-⟨A⟩⟨B⟩$（ゆらぎの 2 次 $\delta A\delta B$ を捨てる）とし、${\Delta }_k=-{\sum }_{k^{\prime }}{V}_{k{k}^{\prime }}{b}_{k^{\prime }}$ と定義すると $$H_{\mathrm{MF}}=\sum _k\left[{\xi }_k(c_{k\uparrow }^{†}{c}_{k\uparrow }+c_{-k\downarrow }^{†}{c}_{-k\downarrow })-{\Delta }_k{c}_{k\uparrow }^{†}{c}_{-k\downarrow }^{†}-{\Delta }_k^{\ast }{c}_{-k\downarrow }{c}_{k\uparrow }\right]+\text{定数}$$ となり、演算子について 2 次になります（定数は ${\sum }_k{\Delta }_k{b}_k^{\ast }$）。

$c_{-k\downarrow }^{†}{c}_{-k\downarrow }=1-c_{-k\downarrow }{c}_{-k\downarrow }^{†}$ を使い、${\Psi }_k=\left(\begin{array}{c}{c}_{k\uparrow }\\ c_{-k\downarrow }^{†}\end{array}\right)$ とまとめると、各 $\mathbf{k}$ の部分は $${\Psi }_k^{†}\left(\begin{array}{cc}{\xi }_k& -{\Delta }_k\\ -{\Delta }_k^{\ast }& -{\xi }_k\end{array}\right){\Psi }_k+{\xi }_k$$ という $2\times 2$ エルミート行列の 2 次形式です。この行列の固有値は ${\lambda }^2={\xi }_k^2+|{\Delta }_k{|}^2$ から $\pm E_k$、$E_k=\sqrt{{\xi }_k^2+|{\Delta }_k{|}^2}$ です。ユニタリ行列で ${\Psi }_k$ を新しい演算子 $\left(\begin{array}{c}{\gamma }_{k0}\\ {\gamma }_{k1}^{†}\end{array}\right)$ に変換すれば（ボゴリューボフ・ヴァラチン変換）、$$c_{k\uparrow }=u_k^{\ast }{\gamma }_{k0}+v_k{\gamma }_{k1}^{†},c_{-k\downarrow }^{†}=-v_k^{\ast }{\gamma }_{k0}+u_k{\gamma }_{k1}^{†}$$ となります。変換がユニタリであることが $|u_k{|}^2+|v_k{|}^2=1$ に当たり、これにより $\{{\gamma }_{k0},{\gamma }_{k0}^{†}\}=|u_k{|}^2+|v_k{|}^2=1$ と $\gamma$ もフェルミ演算子になります。こうして $H_{\mathrm{MF}}={\sum }_k{E}_k({\gamma }_{k0}^{†}{\gamma }_{k0}+{\gamma }_{k1}^{†}{\gamma }_{k1})+\text{定数}$ となり、準粒子 1 個の励起エネルギーは $E_k\ge |{\Delta }_k|$ です。

固有ベクトルを求めると $$|u_k{|}^2=\frac{1}{2}\left(1+\frac{{\xi }_k}{E_k}\right),|v_k{|}^2=\frac{1}{2}\left(1-\frac{{\xi }_k}{E_k}\right),u_k{v}_k^{\ast }=\frac{{\Delta }_k}{2E_k}$$ （${\Delta }_k$ を実数にとる位相の約束で $u_k,v_k$ を実数にしたとき）。準粒子のいない基底状態では $⟨c_{k\uparrow }^{†}{c}_{k\uparrow }⟩=|v_k{|}^2$ なので、$v_k^2$ は対の占有確率です。${\Delta }_k\to 0$ では ${\xi }_k<0$（フェルミ面の内側）で $v_k^2\to 1$、${\xi }_k>0$ で $v_k^2\to 0$ となり、通常のフェルミ球に戻ります。温度 $T$ では準粒子がフェルミ分布 $f(E)=1/(e^{E/k_{B}T}+1)$ で励起されるので、$b_k=u_k{v}_k^{\ast }(1-2f(E_k))$ となり、自己無撞着条件（ギャップ方程式）${\Delta }_k=-{\sum }_{k^{\prime }}{V}_{k{k}^{\prime }}\frac{{\Delta }_{k^{\prime }}}{2E_{k^{\prime }}}\left(1-2f(E_{k^{\prime }})\right)$ が得られます。