無限に深い井戸型ポテンシャル

境界で $ψ = 0$ の条件からエネルギー準位 $E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$ と固有関数を求め、2・3 次元の箱では準位の縮退度も数えられる

前提

時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）

説明

幅 $L$ の区間の中ではポテンシャルが $0$ 、外では無限大という「無限に深い井戸」に閉じ込められた粒子について、とりうるエネルギー $E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）と、それぞれの規格化された波動関数（固有関数）を求められるようになります。さらに 2 次元・3 次元の箱では、同じエネルギーをもつ異なる状態の数（縮退度）を数えられるようになります。量子ドットや金属中の自由電子、気体分子の並進運動など、狭い領域に閉じ込められた粒子のモデルとして広く使われます。

なぜそうしてよいのか

井戸の外（ $V = \infty$ ）では粒子は見つからないので $ψ = 0$ です。井戸の壁では $ψ^{'}$ の連続性は使えませんが、 $ψ$ は連続でなければならないので、 $0 ≦ x ≦ L$ の井戸では境界条件 $ψ (0) = ψ (L) = 0$ が課されます。井戸の中では $V = 0$ なので、シュレーディンガー方程式は
$ψ^{''} + \frac{2 m E}{ℏ ^{2}} ψ = 0$
となり、これは $λ = \frac{2 m E}{ℏ ^{2}}$ とおいた境界値問題 $y^{''} + λ y = 0$ , $y (0) = y (L) = 0$ そのものです。 $λ ≦ 0$ （ $E ≦ 0$ ）では一般解 $C e^{- λ x} + D e^{- - λ x}$ や $C + D x$ が両端で $0$ になるのは $C = D = 0$ のときだけなので、 $0$ でない解はありません。 $λ > 0$ では $k = λ$ として $ψ = A sin k x + B cos k x$ 、 $ψ (0) = 0$ から $B = 0$ 、 $ψ (L) = A sin k L = 0$ で $A \neq = 0$ とすると $k L = nπ$ 。 $n = 0$ だと $ψ \equiv 0$ 、 $n < 0$ は $n > 0$ と符号が変わるだけで同じ状態なので、 $n = 1, 2, 3, \dots$ に限ります。 $E = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ に $k = \frac{nπ}{L}$ を代入すると $E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$ が得られます。規格化 $\int_{0}^{L} A^{2} sin^{2} \frac{nπ x}{L} d x = \frac{A ^{2} L}{2} = 1$ から $A = \frac{2}{L}$ です。直観的には、両端を固定した弦の定在波と同じで、井戸の幅に半波長がちょうど $n$ 個入る波（ $L = n \cdot \frac{λ _{dB}}{2}$ 、 $λ_{dB}$ はド・ブロイ波長）だけが許されます。

3 次元の箱 $0 ≦ x ≦ L_{x}$ , $0 ≦ y ≦ L_{y}$ , $0 ≦ z ≦ L_{z}$ では、方程式は $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} (\frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial z ^{2}}) = E ψ$ です（ $\frac{\partial}{\partial x}$ はほかの変数を定数とみて $x$ で微分する記号）。 $ψ = X (x) Y (y) Z (z)$ の形を代入して $ψ$ で割ると、 $x$ だけの項・ $y$ だけの項・ $z$ だけの項の和が定数 $E$ になるので、各項がそれぞれ定数でなければなりません。すると各方向に 1 次元の井戸と同じ問題が現れ、
$E_{n_{x} n_{y} n_{z}} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m} (\frac{n _{x}^{2}}{L _{x}^{2}} + \frac{n _{y}^{2}}{L _{y}^{2}} + \frac{n _{z}^{2}}{L _{z}^{2}}), n_{x}, n_{y}, n_{z} = 1, 2, 3, \dots$
となります（2 次元なら $z$ の項がないだけ）。立方体（ $L_{x} = L_{y} = L_{z} = L$ ）では $E = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} (n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2})$ となり、 $(1, 1, 2)$ と $(2, 1, 1)$ のように異なる組が同じエネルギーを与えます。同じエネルギーをもつ異なる組 $(n_{x}, n_{y}, n_{z})$ （異なる固有関数）の個数を、その準位の縮退度といいます。

手順

井戸の範囲と境界条件を確認する：井戸の外で $ψ = 0$ 、壁の位置で $ψ = 0$ （例： $ψ (0) = ψ (L) = 0$ ）
井戸の中で $ψ^{''} + k^{2} ψ = 0$ （ $k^{2} = \frac{2 m E}{ℏ ^{2}}$ ）を解き、 $ψ = A sin k x + B cos k x$ に境界条件を課して $k = \frac{nπ}{L}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）を得る
エネルギー準位 $E_{n} = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$ と、規格化した固有関数 $ψ_{n} = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}$ を書く
2・3 次元の箱では各方向の量子数 $n_{x}, n_{y}, \dots$ （それぞれ $1$ 以上の整数）を使い、 $E = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m} (\frac{n _{x}^{2}}{L _{x}^{2}} + \frac{n _{y}^{2}}{L _{y}^{2}} + \frac{n _{z}^{2}}{L _{z}^{2}})$ と書く
縮退度を求めるときは、指定されたエネルギーを与える正の整数の組 $(n_{x}, n_{y}, n_{z})$ をすべて書き出し、並べ替えも区別して個数を数える

例題

1 辺の長さ $L$ の立方体の箱（内部で $V = 0$ 、外部で $V = \infty$ ）に閉じ込められた質量 $m$ の粒子を考える。エネルギーが $E = \frac{7 π ^{2} ℏ ^{2}}{m L ^{2}}$ である準位の縮退度を求めよ。

例題の解答

【手順 1・2・3】各方向とも壁で $ψ = 0$ なので、1 次元の井戸と同じく各方向の量子数は $n_{x}, n_{y}, n_{z} = 1, 2, 3, \dots$ 。

【手順 4】立方体なので
$E = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} (n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2})$
与えられたエネルギーは $\frac{7 π ^{2} ℏ ^{2}}{m L ^{2}} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} \times 14$ なので、 $n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2} = 14$ となる正の整数の組を探せばよい。

【手順 5】使える平方数は $1, 4, 9$ （ $16 > 14$ ）。3 つの和が $14$ になるのは $9 + 4 + 1$ だけである（ $9 + 4 + 4 = 17$ , $9 + 1 + 1 = 11$ , $4 + 4 + 4 = 12$ などは不適）。よって ${n_{x}, n_{y}, n_{z}} = {3, 2, 1}$ で、その並べ方は $3! = 6$ 通り：
$(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)$ 。
それぞれ異なる固有関数を与えるので、縮退度は $6$ 。

答え: $6$

よくある誤り

量子数に $n = 0$ を含め、基底状態のエネルギーを $E_{0} = 0$ としてしまう誤り。正しくは $n = 0$ では $ψ = 2/ L sin 0 = 0$ で粒子が存在しないので、 $n = 1, 2, 3, \dots$ に限り、最低エネルギーは $E_{1} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} > 0$ 。3 次元でも $n_{x}, n_{y}, n_{z}$ はどれも $1$ 以上
$k = \frac{nπ}{L}$ を $k = \frac{2 nπ}{L}$ としたり、 $E_{n}$ を $\frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{m L ^{2}}$ として $2$ を落としたりする誤り。正しくは $sin k L = 0$ から $k L = nπ$ 、 $E_{n} = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$
縮退度を数えるときに $(1, 2, 3)$ と $(3, 2, 1)$ を同じものとみなし、例題の答えを $1$ としてしまう誤り。正しくは $ψ = sin \frac{π x}{L} sin \frac{2 π y}{L} sin \frac{3 π z}{L}$ と $sin \frac{3 π x}{L} sin \frac{2 π y}{L} sin \frac{π z}{L}$ は異なる関数なので、並べ替えを区別して数える（ $(1, 1, 2)$ 型なら 3 通り、 $(1, 1, 1)$ なら 1 通り）
規格化定数を $\frac{1}{L}$ としてしまう誤り。正しくは $\int_{0}^{L} sin^{2} \frac{nπ x}{L} d x = \frac{L}{2}$ なので $A = \frac{2}{L}$ （3 次元の立方体では $(\frac{2}{L})^{3/2}$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m$ の粒子が、1 次元のポテンシャル
$V (x) = {0 \infty (0 < x < L) (x \leq 0, x \geq L)$
の中に閉じこめられている（ $L > 0$ ）。 $ℏ$ をディラック定数とする。この粒子のエネルギー固有値を小さい順に $E_{1} < E_{2} < E_{3} < \dots$ とするとき、差 $E_{3} - E_{2}$ を $m$ , $L$ , $ℏ$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

固有関数による展開と測定確率（大学物理量子力学（1 次元の問題））
縮退がある場合の摂動論（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
同種粒子と交換対称性（大学物理量子力学（角運動量・近似法））