量子力学（1 次元の問題）の問題

質量 $m$ の粒子が、1 次元のポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (-a<x<a)\\ \infty & (|x|\geqq a)\end{array}$$
の中にある（$a>0$）。波動関数は $x=\pm a$ で $0$ になるとする。この粒子が、エネルギーの低い方から数えて 3 番目の定常状態から 2 番目の定常状態へ遷移するとき、光子を 1 個放出する。放出される光子の波長 $\lambda$ を、$m$, $a$, 換算プランク定数 $\hslash$, 真空中の光速 $c$ を用いて表せ。ただし、遷移の前後のエネルギー差はすべて光子のエネルギーになるものとし、光子のエネルギーは $E=2\pi \hslash c/\lambda$ で与えられるとする。

質量 $m$ の粒子が、1 次元のポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (0<x<L)\\ \infty & (x\le 0,x\ge L)\end{array}$$
の中に閉じこめられている（$L>0$）。$\hslash$ をディラック定数とする。この粒子のエネルギー固有値を小さい順に $E_1<E_2<E_3<\cdots$ とするとき、差 $E_3-E_2$ を $m$, $L$, $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元のポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}\infty & (x\leqq 0)\\ -V_0& (0<x<a)\\ 0& (x\geqq a)\end{array}(V_0>0,a>0)$$
の中を運動している。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。波動関数は $x=0$ で $0$ となり、$x=a$ で波動関数とその導関数が連続であるとする。束縛状態とは、エネルギー $E$ が $-V_0<E<0$ を満たし、$x\to \infty$ で規格化可能な（$0$ に近づく）エネルギー固有状態のことである。

この系には、$V_0$ がある値 $V_{\mathrm{c}}$ より大きいときに限り、束縛状態が 2 つ以上存在する。$V_{\mathrm{c}}$ を $m,a,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元のポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}\alpha \delta (x)& (|x|<a)\\ \infty & (|x|\geqq a)\end{array}(a>0,\alpha >0)$$
の中にある。これは、無限に深い井戸の中央に反発的なデルタ関数型ポテンシャルを置いたものである。$\delta (x)$ はディラックのデルタ関数であり、$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。波動関数は $x=\pm a$ で $0$ になり、$x=0$ で連続であるとする。

この粒子の基底状態のエネルギーが
$$E=\frac{9{\pi }^2{\hslash }^2}{32m{a}^2}$$
となるような $\alpha$ を、$m,a,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元の階段型ポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x<0)\\ V_0& (x\geqq 0)\end{array}(V_0>0)$$
に $x<0$ の側から $x$ 軸の正の向きに入射する。粒子のエネルギーは $E=\frac{4}{3}{V}_0$ である（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。粒子は時間に依存しないシュレーディンガー方程式に従い、波動関数とその 1 階導関数は $x=0$ で連続とする。$x>0$ には右向きに進む透過波だけがあるとして、透過率 $T$（入射波の確率流密度に対する透過波の確率流密度の比）を既約分数で求めよ。