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量子力学（1 次元の問題）の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理量子力学（1 次元の問題）

質量 $m$ の粒子が、1 次元の階段型ポテンシャル
$V (x) = {0 V_{0} (x < 0) (x ≧ 0) (V_{0} > 0)$
に $x < 0$ の側から $x$ 軸の正の向きに入射する。粒子のエネルギーは $E = \frac{4}{3} V_{0}$ である（ $ℏ$ はプランク定数を $2 π$ で割ったもの）。粒子は時間に依存しないシュレーディンガー方程式に従い、波動関数とその 1 階導関数は $x = 0$ で連続とする。 $x > 0$ には右向きに進む透過波だけがあるとして、透過率 $T$ （入射波の確率流密度に対する透過波の確率流密度の比）を既約分数で求めよ。

この問題で使うもの

確率流密度と透過率（トンネル効果）（説明と入口の問題）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（99 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$x < 0$ に入射波と反射波、 $x > 0$ に透過波をおき、 $x = 0$ で $ψ$ と $ψ^{'}$ を接続する。

ヒント 2

透過波の振幅は $t = \frac{2 k _{1}}{k _{1} + k _{2}}$ となる。透過率は確率流密度の比なので $T = \frac{k _{2}}{k _{1}} ∣ t ∣^{2}$ である。

ヒント 3

$E = \frac{4}{3} V_{0}$ のとき $\frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{1}{2}$ になる。

答えと解説

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\frac{8}{9}

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解説を読む

$k_{1} = \frac{2 m E}{ℏ}$ , $k_{2} = \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ}$ とおくと（ $E > V_{0}$ なので $k_{2}$ は実数）、
$ψ (x) = {e^{i k_{1} x} + r e^{- i k_{1} x} t e^{i k_{2} x} (x < 0) (x > 0)$

$x = 0$ での接続条件:
$1 + r = t, i k_{1} (1 - r) = i k_{2} t$
2 式から $r$ を消去すると $k_{1} (2 - t) = k_{2} t$ より
$t = \frac{2 k _{1}}{k _{1} + k _{2}}$

確率流密度は $j = \frac{ℏ k}{m} ∣ 振幅 ∣^{2}$ なので、波数が異なることに注意して
$T = \frac{k _{2} ∣ t ∣ ^{2}}{k _{1}} = \frac{k _{2}}{k _{1}} \cdot \frac{4 k _{1}^{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}} = \frac{4 k _{1} k _{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}}$

$E = \frac{4}{3} V_{0}$ のとき $E - V_{0} = \frac{1}{3} V_{0}$ なので
$\frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E - V _{0}}{E} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
$k_{2} = \frac{k _{1}}{2}$ を代入して
$T = \frac{4 k _{1} \cdot \frac{k _{1}}{2}}{( \frac{3 k _{1}}{2} ) ^{2}} = \frac{2}{\frac{9}{4}} = \frac{8}{9}$

確認: 反射率 $R = (\frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}})^{2} = (\frac{1/2}{3/2})^{2} = \frac{1}{9}$ で、 $R + T = 1$ が成り立つ。

別解

$x < 0$ : $k_{1} = \frac{2 m E}{ℏ}$ 、 $x > 0$ : $k_{2} = \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ}$ 。 $E = \frac{4}{3} V_{0}$ のとき $E - V_{0} = \frac{1}{3} V_{0}$ なので $\frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{V _{0} /3}{4 V _{0} /3} = \frac{1}{2}$ 。 $x < 0$ : $ψ = e^{i k_{1} x} + r e^{- i k_{1} x}$ 、 $x > 0$ : $ψ = t e^{i k_{2} x}$ 。 $x = 0$ での連続条件 $1 + r = t$ 、 $k_{1} (1 - r) = k_{2} t$ 。これらより $t = \frac{2 k _{1}}{k _{1} + k _{2}}$ 、 $r = \frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}}$ 。確率流密度は波数に比例するので $T = \frac{k _{2}}{k _{1}} ∣ t ∣^{2} = \frac{4 k _{1} k _{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}}$ 。 $k_{2} = \frac{k _{1}}{2}$ を代入して $T = \frac{4 \cdot \frac{1}{2}}{( \frac{3}{2} ) ^{2}} = \frac{2}{9/4} = \frac{8}{9}$ 。検算: 反射率 $R = ∣ r ∣^{2} = (\frac{1/2}{3/2})^{2} = \frac{1}{9}$ で $T + R = \frac{8}{9} + \frac{1}{9} = 1$ 。

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