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量子力学（1 次元の問題）の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理量子力学（1 次元の問題）

質量 $m$ の粒子が、1 次元の有限の深さの井戸型ポテンシャル
$V (x) = {- V_{0} 0 (∣ x ∣ < a) (∣ x ∣ ≧ a) (V_{0} > 0, a > 0)$
の中を運動している（ $ℏ$ はプランク定数を $2 π$ で割ったもの）。粒子は時間に依存しないシュレーディンガー方程式に従い、波動関数とその 1 階導関数は $x = \pm a$ で連続で、 $∣ x ∣ \to \infty$ で $0$ に近づくとする。基底状態のエネルギーがちょうど $E = - \frac{V _{0}}{2}$ になるような井戸の深さ $V_{0}$ を、 $m, a, ℏ$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

有限の深さの井戸型ポテンシャルの束縛状態（説明と入口の問題）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（108 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

基底状態は偶関数解なので、内側を $A cos k x$ 、外側を $B e^{- κ ∣ x ∣}$ とおき、 $x = a$ で接続する。

ヒント 2

接続条件から $k tan k a = κ$ が得られる。 $E = - V_{0} /2$ のとき $k$ と $κ$ の関係はどうなるか。

ヒント 3

$k = κ$ より $tan k a = 1$ 、基底状態なので $k a = \frac{π}{4}$ 。あとは $k = \frac{m V _{0}}{ℏ}$ を使って $V_{0}$ を求める。

答えと解説

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\frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{16 m a ^{2}}

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解説を読む

束縛状態 $- V_{0} < E < 0$ について、井戸の内側で $k = \frac{2 m ( E + V _{0} )}{ℏ}$ 、外側で $κ = \frac{- 2 m E}{ℏ}$ とおく。ポテンシャルが偶関数なので、基底状態は節をもたない偶関数解であり
$ψ (x) = {A cos k x B e^{- κ ∣ x ∣} (∣ x ∣ < a) (∣ x ∣ > a)$
と書ける。 $x = a$ で $ψ$ と $ψ^{'}$ が連続であることから
$A cos k a = B e^{- κa}, - k A sin k a = - κ B e^{- κa}$
辺々割って
$k tan k a = κ$

$E = - \frac{V _{0}}{2}$ のとき $E + V_{0} = \frac{V _{0}}{2} = - E$ なので $k = κ$ である。よって $tan k a = 1$ 。基底状態は最も小さい $k$ に対応し、節をもたない（ $cos k x$ が $∣ x ∣ < a$ で正）ので $0 < k a < \frac{π}{2}$ であり
$k a = \frac{π}{4}$

一方、 $k = \frac{2 m \cdot V _{0} /2}{ℏ} = \frac{m V _{0}}{ℏ}$ なので
$\frac{a m V _{0}}{ℏ} = \frac{π}{4} ⟹ V_{0} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{16 m a ^{2}}$

確認: このとき $z_{0} = \frac{a 2 m V _{0}}{ℏ} = \frac{2 π}{4} \approx 1.11 < \frac{π}{2}$ なので束縛状態はこの 1 つだけであり、確かに基底状態である。また、基底状態の $E / V_{0}$ は $V_{0}$ について単調に変化するので、条件を満たす $V_{0}$ はこの値だけである。

別解

基底状態は偶パリティ。井戸内 $ψ = cos k x$ 、外 $ψ \propto e^{- κ ∣ x ∣}$ とおく。 $k = \frac{2 m ( E + V _{0} )}{ℏ}$ 、 $κ = \frac{- 2 m E}{ℏ}$ 。 $E = - \frac{V _{0}}{2}$ のとき $k = κ = \frac{m V _{0}}{ℏ}$ 。 $x = a$ での対数微分の連続条件 $- k tan k a = - κ$ より $k tan k a = κ$ 、すなわち $tan k a = \frac{κ}{k} = 1$ 。基底状態では $0 < k a < \frac{π}{2}$ なので $k a = \frac{π}{4}$ 。よって $\frac{m V _{0} a}{ℏ} = \frac{π}{4}$ 、 $V_{0} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{16 m a ^{2}}$ 。検算: このとき $z_{0} = a 2 m V_{0} /ℏ = \frac{π}{4} 2 \approx 1.11 < \frac{π}{2}$ で、束縛状態は偶パリティの 1 つだけであり、それが基底状態。 $ξ = k a = \frac{π}{4}$ 、 $η = κa = \frac{π}{4}$ は $η = ξ tan ξ$ ( $tan \frac{π}{4} = 1$ ) を満たし、 $ξ^{2} + η^{2} = \frac{π ^{2}}{8} = z_{0}^{2}$ とも一致する。

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