$sin θ$ と $cos θ$ の対称式

$(sin θ + cos θ)^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$ や $tan θ + \frac{1}{t a n θ} = \frac{1}{s i n θ c o s θ}$ を使い、 $sin θ$ の範囲から符号を決めて、 $sin θ - cos θ$ や $sin^{3} θ - cos^{3} θ$ の値を求められる

前提

三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
2 変数の対称式（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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2 変数の対称式（数学I 数と式）

説明

$sin θ + cos θ$ や $tan θ + \frac{1}{tan θ}$ の値だけが分かっているときに、 $θ$ そのものを求めずに $sin θ cos θ$ 、 $sin θ - cos θ$ 、 $sin^{3} θ - cos^{3} θ$ などの値を計算できるようになります。 $sin θ$ と $cos θ$ を 2 つの文字 $x, y$ とみて、2 変数の対称式の計算をそのまま使います。2 乗してから戻すときには $\pm$ の 2 通りが出ます。どちらになるかは $θ$ の範囲と各値の符号から決めます。

なぜそうしてよいのか

$x = sin θ$ , $y = cos θ$ とおくと、相互関係から $x^{2} + y^{2} = sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ がいつでも成り立ちます。2 変数の対称式では $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ でした。左辺は 1 と決まっているので
$(sin θ + cos θ)^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$
となり、和 $sin θ + cos θ$ が分かれば積 $sin θ cos θ$ が求まります。和と積が分かれば、対称式はすべて計算できます。また $tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}$ なので、 $cos θ \neq = 0$ かつ $sin θ \neq = 0$ のとき
$tan θ + \frac{1}{tan θ} = \frac{sin θ}{cos θ} + \frac{cos θ}{sin θ} = \frac{sin ^{2} θ + cos ^{2} θ}{sin θ cos θ} = \frac{1}{sin θ cos θ}$
となります。こちらからも積が求まります。

差 $sin θ - cos θ$ は対称式ではありません。しかし 2 乗すると $(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - 2 sin θ cos θ$ となり、積で表せます。ただし 2 乗の値からは $\pm$ の 2 通りが出るので、どちらか一方に決める必要があります。 $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ では $sin θ \geq 0$ です。そのため $sin θ cos θ < 0$ なら $sin θ > 0$ , $cos θ < 0$ と分かり、正の数から負の数を引くので $sin θ - cos θ > 0$ と決まります。

一方、 $sin θ cos θ > 0$ のときは $sin θ > 0$ , $cos θ > 0$ 、つまり $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ です。このときは正の数どうしの差なので、符号は積だけからは決まりません。単位円で見ると、 $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ では $θ$ が大きくなるほど $sin θ$ は増え、 $cos θ$ は減ります。また $θ = 4 5^{\circ}$ で両者は等しくなります。したがって $θ < 4 5^{\circ}$ なら $sin θ - cos θ < 0$ 、 $θ > 4 5^{\circ}$ なら $sin θ - cos θ > 0$ です。問題で与えられた $θ$ の範囲など、追加の情報を使って判断します。

手順

与えられた条件から積 $sin θ cos θ$ を求める。和が与えられたら両辺を 2 乗して $sin θ cos θ = \frac{( sin θ + cos θ ) ^{2} - 1}{2}$ とする。 $tan θ + \frac{1}{tan θ} = k$ が与えられたら $sin θ cos θ = \frac{1}{k}$ とする。
求めたい式を和・差・積で表す。 $(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - 2 sin θ cos θ$ 、 $sin^{3} θ + cos^{3} θ = (sin θ + cos θ) (1 - sin θ cos θ)$ 、 $sin^{3} θ - cos^{3} θ = (sin θ - cos θ) (1 + sin θ cos θ)$ を使う。
$sin θ - cos θ$ の符号を決める。 $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ では $sin θ \geq 0$ である。(a) 積 $sin θ cos θ < 0$ のときは、 $sin θ > 0$ , $cos θ < 0$ となるので $sin θ - cos θ > 0$ と決まる。(b) 積 $> 0$ のときは $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ となり、積だけでは符号は決まらない。問題の $θ$ の範囲などから $θ$ と $4 5^{\circ}$ の大小を調べ、 $θ < 4 5^{\circ}$ なら負、 $θ > 4 5^{\circ}$ なら正とする。(c) 積 $= 0$ のときは $sin θ = 0$ または $cos θ = 0$ なので、 $θ$ を直接求めて値を出す。
2 乗の値の正の平方根をとり、手順 3 で決めた符号を付けて値を決める。必要なら手順 2 の式に代入する。

例題

$0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ で $sin θ + cos θ = \frac{1}{2}$ のとき、 $sin θ - cos θ$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1: 両辺を 2 乗すると $1 + 2 sin θ cos θ = \frac{1}{4}$ となるので、 $sin θ cos θ = - \frac{3}{8}$ 。
手順 2: $(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - 2 sin θ cos θ = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ 。
手順 3: 積が負なので、手順 3 の (a) の場合にあたる。 $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ より $sin θ \geq 0$ で、積が負だから $sin θ \neq = 0$ 、つまり $sin θ > 0$ 。したがって $cos θ < 0$ となり、 $sin θ - cos θ > 0$ 。
手順 4: $sin θ - cos θ = \frac{7}{4} = \frac{7}{2}$ 。
(確かめ: $sin θ, cos θ$ は $t^{2} - \frac{1}{2} t - \frac{3}{8} = 0$ の解 $\frac{1 \pm 7}{4}$ である。 $sin θ > 0$ より $sin θ = \frac{1 + 7}{4}$ , $cos θ = \frac{1 - 7}{4}$ となり、差は $\frac{7}{2}$ 。)

答え: $\frac{7}{2}$

よくある誤り

$(sin θ + cos θ)^{2} = sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ としてしまう誤り。正しくは $(sin θ + cos θ)^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$ で、 $2 sin θ cos θ$ の項が残る。
$(sin θ - cos θ)^{2} = \frac{7}{4}$ から $sin θ - cos θ = \pm \frac{7}{2}$ と両方を答えにしてしまう誤り。正しくは $θ$ の範囲と $sin θ cos θ < 0$ から $cos θ < 0$ を導き、 $sin θ - cos θ = \frac{7}{2}$ と 1 つに決める。
$sin θ cos θ > 0$ のときにも「 $sin θ - cos θ > 0$ 」と決めつけてしまう誤り。正しくは、このとき $sin θ > 0$ , $cos θ > 0$ （ $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ ）で、符号は $θ$ と $4 5^{\circ}$ の大小で変わる。例えば $sin θ cos θ = \frac{3}{8}$ では $(sin θ - cos θ)^{2} = \frac{1}{4}$ となるが、 $θ < 4 5^{\circ}$ なら $- \frac{1}{2}$ 、 $θ > 4 5^{\circ}$ なら $\frac{1}{2}$ である。
$sin^{3} θ - cos^{3} θ = (sin θ - cos θ)^{3}$ としてしまう誤り。正しくは $sin^{3} θ - cos^{3} θ = (sin θ - cos θ) (sin^{2} θ + sin θ cos θ + cos^{2} θ) = (sin θ - cos θ) (1 + sin θ cos θ)$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

置き換えによる三角関数の最大・最小（数学II 三角関数）

sinθ と cosθ の対称式

前提

説明