図形と計量の問題

$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ より $\sin \theta >0$，また $\theta \ne 90^{\circ }$ より $\cos \theta \ne 0$ である。

$p=\sin \theta +\cos \theta$ で表す $p=\sin \theta +\cos \theta$ とおくと，$p^2=1+2\sin \theta \cos \theta$ より
$$\sin \theta \cos \theta =\frac{p^2-1}{2}.$$
与えられた式の左辺を通分すると
$$\frac{1}{\sin \theta }+\frac{1}{\cos \theta }=\frac{\sin \theta +\cos \theta }{\sin \theta \cos \theta }=\frac{2p}{p^2-1}$$
なので（$\sin \theta \cos \theta \ne 0$ より $p^2\ne 1$），
$$\frac{2p}{p^2-1}=\frac{5}{12}⟺24p=5p^2-5⟺5p^2-24p-5=0⟺(5p+1)(p-5)=0.$$
よって $p=-\frac{1}{5}$ または $p=5$。

$p$ のとりうる範囲 $p^2=1+2\sin \theta \cos \theta \leqq 1+({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )=2$（$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2\geqq 0$ より $2\sin \theta \cos \theta \leqq {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta$）なので $|p|\leqq \sqrt{2}$。したがって $p=5$ は不適で
$$p=\sin \theta +\cos \theta =-\frac{1}{5},\sin \theta \cos \theta =\frac{\frac{1}{25}-1}{2}=-\frac{12}{25}.$$

$\sin \theta ,\cos \theta$ を求める $\sin \theta ,\cos \theta$ は $x$ の 2 次方程式
$$x^2+\frac{1}{5}x-\frac{12}{25}=0⟺25x^2+5x-12=0⟺(5x-3)(5x+4)=0$$
の 2 つの解なので，$\{\sin \theta ,\cos \theta \}=\left\{\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right\}$。$\sin \theta >0$ より
$$\sin \theta =\frac{3}{5},\cos \theta =-\frac{4}{5}.$$
（このとき ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を満たし，$\frac{5}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{12}$ となって条件を満たす。）

よって
$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}.$$

$\frac{1}{\sin \theta }+\frac{1}{\cos \theta }=\frac{5}{12}$ の分母を払って $12(\sin \theta +\cos \theta )=5\sin \theta \cos \theta$。

$t=\sin \theta +\cos \theta$ とおくと $t^2=1+2\sin \theta \cos \theta$ より $\sin \theta \cos \theta =\frac{t^2-1}{2}$。よって $12t=\frac{5(t^2-1)}{2}$、$5t^2-24t-5=0$、$(5t+1)(t-5)=0$。$|t|=|\sqrt{2}\sin (\theta +45^{\circ })|\leqq \sqrt{2}$ なので $t=5$ は不適、$t=-\frac{1}{5}$。

このとき $\sin \theta \cos \theta =\frac{\frac{1}{25}-1}{2}=-\frac{12}{25}$。$\sin \theta ,\cos \theta$ は $u^2+\frac{1}{5}u-\frac{12}{25}=0$、すなわち $25u^2+5u-12=0$ の解で、$u=\frac{-5\pm 35}{50}=\frac{3}{5},-\frac{4}{5}$。

$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ より $\sin \theta >0$ なので $\sin \theta =\frac{3}{5}$, $\cos \theta =-\frac{4}{5}$。$\tan \theta =-\frac{3}{4}$。

検算: $\frac{1}{3/5}+\frac{1}{-4/5}=\frac{5}{3}-\frac{5}{4}=\frac{20-15}{12}=\frac{5}{12}$ ✓。