図形と計量の問題

$s=\sin \theta ,c=\cos \theta$ とおく。$90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ より $s>0,c<0$ である。

条件から $c=\sqrt{5}-3s$ である。これを相互関係 $s^2+c^2=1$ に代入すると
$$s^2+(\sqrt{5}-3s{)}^2=1$$
$$s^2+5-6\sqrt{5}s+9s^2=1$$
$$10s^2-6\sqrt{5}s+4=0$$
$$5s^2-3\sqrt{5}s+2=0$$
となる。解の公式より
$$s=\frac{3\sqrt{5}\pm \sqrt{45-40}}{10}=\frac{3\sqrt{5}\pm \sqrt{5}}{10}$$
なので、$s=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ または $s=\frac{\sqrt{5}}{5}$ である。

・$s=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ のとき $c=\sqrt{5}-\frac{6\sqrt{5}}{5}=-\frac{\sqrt{5}}{5}<0$ となり、条件を満たす。

・$s=\frac{\sqrt{5}}{5}$ のとき $c=\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}>0$ となり、$c<0$ に反するので不適。

よって $\sin \theta =\frac{2\sqrt{5}}{5},\cos \theta =-\frac{\sqrt{5}}{5}$ である。

(確認: $3\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$ となり、条件を満たす。)

したがって
$$\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{1-\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$$
分母を有理化すると
$$\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{4}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
である。

$t=\tan \frac{\theta }{2}$ とおくと $\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=t$ である。$45^{\circ }<\frac{\theta }{2}<90^{\circ }$ より $t>1$。
$\sin \theta =\frac{2t}{1+t^2}$, $\cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}$ を与式に代入して整理すると
$6t+1-t^2=\sqrt{5}(1+t^2)$
すなわち $(1+\sqrt{5})t^2-6t+(\sqrt{5}-1)=0$。
判別式は $36-4(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=36-16=20$ なので
$t=\frac{3\pm \sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$。
$t=\frac{3+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618$、$t=\frac{3-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2\approx 0.236$。
$t>1$ より $t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
検算：$t\approx 1.618$ のとき $\sin \theta \approx 0.894$, $\cos \theta \approx -0.447$ で、$3\sin \theta +\cos \theta \approx 2.236=\sqrt{5}$ となり、$90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ も満たす。