図形と計量の問題

手順1：$\sin \theta \cos \theta$ を求める。

与えられた式の両辺を 2 乗すると
$$(\sin \theta +\cos \theta {)}^2={\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =\frac{2}{9}$$
となる。${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を使うと
$$1+2\sin \theta \cos \theta =\frac{2}{9}$$
$$2\sin \theta \cos \theta =-\frac{7}{9}$$
である。

手順2：$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2$ を求める。
$$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2={\sin }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =1-2\sin \theta \cos \theta =1+\frac{7}{9}=\frac{16}{9}$$

手順3：符号を決める。

$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ より $\sin \theta >0$ である。手順1から $\sin \theta \cos \theta =-\frac{7}{18}<0$ なので $\cos \theta <0$ である。

よって $\sin \theta -\cos \theta >0$ であり
$$\sin \theta -\cos \theta =\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$$

確かめ：

$\sin \theta =\frac{4+\sqrt{2}}{6}$, $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}-4}{6}$ となる。

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =\frac{18+8\sqrt{2}}{36}+\frac{18-8\sqrt{2}}{36}=1$ が成り立つので、矛盾はない。

答えは $\frac{4}{3}$ である。

$\sin \theta +\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{3}$ の両辺を2乗すると $1+2\sin \theta \cos \theta =\frac{2}{9}$ より $2\sin \theta \cos \theta =-\frac{7}{9}$。

$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ では $\sin \theta >0$ で、積が負なので $\cos \theta <0$ となり、$\sin \theta -\cos \theta >0$。

$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-2\sin \theta \cos \theta =1+\frac{7}{9}=\frac{16}{9}$。

よって $\sin \theta -\cos \theta =\frac{4}{3}$。

検算: $\sin \theta =\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{4}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}+4}{6}$、$\cos \theta =\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{4}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}-4}{6}$。

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =\frac{(18+8\sqrt{2})+(18-8\sqrt{2})}{36}=1$ となり、条件を満たす。また $\sin \theta <1$、$\cos \theta >-1$ でもある。