量子力学（1 次元の問題）の問題

シュレーディンガー方程式と接続条件

$|x|<a$ での時間に依存しないシュレーディンガー方程式は
$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\psi }^{\prime \prime }(x)+\alpha \delta (x)\psi (x)=E\psi (x)$$
である。両辺を $-\epsilon <x<\epsilon$ で積分して $\epsilon \to 0$ とすると、$\psi$ は連続で有界なので $E\psi$ の積分は $0$ になる。よって導関数の飛びは
$${\psi }^{\prime }(0^{+})-{\psi }^{\prime }(0^{-})=\frac{2m\alpha }{{\hslash }^2}\psi (0)$$
となる。

$V\geqq 0$ なので $E>0$ であり、$E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$ $(k>0)$ とおく。ポテンシャルは $x\to -x$ について対称で、1 次元の束縛状態は縮退しない。したがって固有関数は偶関数か奇関数のどちらかである。

奇の状態

奇関数では $\psi (0)=0$ なので、デルタ関数の影響を受けない。$\psi =A\sin kx$ とおくと、$\sin ka=0$ より $ka=n\pi$ である。最も低いエネルギーは $ka=\pi$ のときで
$$E=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}=\frac{16{\pi }^2{\hslash }^2}{32m{a}^2}$$
となる。

偶の状態

$x=\pm a$ で $0$ になる偶関数として $\psi =A\sin (k(a-|x|))$ とおく。

• $\psi (0)=A\sin ka$
• ${\psi }^{\prime }(0^{+})=-Ak\cos ka$
• ${\psi }^{\prime }(0^{-})=Ak\cos ka$

これらを接続条件に代入すると
$$-2k\cos ka=\frac{2m\alpha }{{\hslash }^2}\sin ka$$
となる。$z=ka$ とおくと
$$\tan z=-\frac{{\hslash }^2}{m\alpha a}z$$
が得られる。$\alpha >0$ なので、右辺は $z>0$ で負である。最も小さい解は $\frac{\pi }{2}<z<\pi$ にあり、この区間で左辺は単調増加、右辺は単調減少なので解はただ 1 つである。この解のエネルギーは $z<\pi$ より奇の状態の最低エネルギーより低いので、これが基底状態になる。

$\alpha$ を求める

与えられたエネルギーから
$$k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}=\frac{9{\pi }^2}{16a^2}$$
なので $z=ka=\frac{3\pi }{4}$ である。これは $\frac{\pi }{2}<z<\pi$ を満たすので、基底状態として矛盾がない。

$\tan \frac{3\pi }{4}=-1$ を条件式に代入すると
$$-1=-\frac{{\hslash }^2}{m\alpha a}\cdot \frac{3\pi }{4}$$
となる。これを $\alpha$ について解いて
$$\alpha =\frac{3\pi {\hslash }^2}{4ma}$$

基底状態は偶関数なので、$0<x<a$ で $\psi (x)=A\sin k(a-x)$（$x=a$ で $0$）、$\psi (-x)=\psi (x)$ とおく。ここで $k=\sqrt{2mE}/\hslash$ である。

$x=0$ でのデルタ関数による接続条件は、シュレーディンガー方程式を $x=0$ のまわりで積分して
$${\psi }^{\prime }(0^{+})-{\psi }^{\prime }(0^{-})=\frac{2m\alpha }{{\hslash }^2}\psi (0)$$
となる。

偶関数なので ${\psi }^{\prime }(0^{-})=-{\psi }^{\prime }(0^{+})$ である。また ${\psi }^{\prime }(0^{+})=-kA\cos ka$、$\psi (0)=A\sin ka$ なので
$$-2k\cos ka=\frac{2m\alpha }{{\hslash }^2}\sin ka\Rightarrow \tan ka=-\frac{{\hslash }^{2}k}{m\alpha }.$$

基底状態は $\pi /2<ka<\pi$ の解である。$\alpha \to 0$ で $ka=\pi /2$、$\alpha \to \infty$ で $ka=\pi$ となる。奇関数の状態は $ka=\pi$ 以上なので、基底状態にはならない。

与えられたエネルギーから
$$k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}=\frac{9{\pi }^2}{16a^2}\Rightarrow ka=\frac{3\pi }{4}.$$
これは $\pi /2<ka<\pi$ を満たす。このとき $\tan ka=-1$ なので
$$\frac{{\hslash }^{2}k}{m\alpha }=1\Rightarrow \alpha =\frac{{\hslash }^{2}k}{m}=\frac{3\pi {\hslash }^2}{4ma}.$$

検算：$\alpha =3\pi {\hslash }^2/(4ma)$ を $\tan ka=-{\hslash }^{2}k/(m\alpha )$ に代入する。右辺は $-k\cdot 4a/(3\pi )$ となる。$ka=3\pi /4$ を使うと $-1$ となり、$\tan (3\pi /4)=-1$ と一致する。