デルタ関数ポテンシャル

$V = α δ (x)$ で $ψ^{'}$ の跳び $ψ^{'} (0^{+}) - ψ^{'} (0^{-}) = \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} ψ (0)$ を導き、束縛状態のエネルギーや透過率を求められる

前提

確率流密度と透過率（トンネル効果）（大学物理量子力学（1 次元の問題））

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算数中学高校大学大学院

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時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
確率流密度と透過率（トンネル効果）（大学物理量子力学（1 次元の問題））

説明

非常に狭く非常に強いポテンシャル（原子 1 個の不純物、薄い障壁など）を、1 点 $x = 0$ だけに集中したポテンシャル $V (x) = α δ (x)$ で近似することがあります。この技能では、そのとき波動関数の傾き $ψ^{'}$ が $x = 0$ で $ψ^{'} (0^{+}) - ψ^{'} (0^{-}) = \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} ψ (0)$ だけ跳ぶことを導き、これを接続条件として使って、引力的（ $α < 0$ ）な場合の束縛状態のエネルギーや、散乱での透過率・反射率を求められるようになります。ここで $ψ^{'} (0^{\pm})$ は $x$ を正側・負側から $0$ に近づけたときの $ψ^{'}$ の極限です。

なぜそうしてよいのか

デルタ関数とは　幅 $ε$ 、高さ $\frac{1}{ε}$ の長方形（ $∣ x ∣ < \frac{ε}{2}$ で $\frac{1}{ε}$ 、それ以外で $0$ ）を考えます。面積はいつも $1$ で、連続な関数 $f$ に対して $\int f (x) \cdot (この長方形) d x$ は、区間 $∣ x ∣ < ε /2$ での $f$ の平均値になり、 $ε \to 0$ で $f (0)$ に近づきます。この極限を $δ (x)$ と書き、性質
$δ (x) = 0 (x \neq = 0), \int_{- ε}^{ε} f (x) δ (x) d x = f (0) (ε > 0)$
だけを使います。 $V = α δ (x)$ は「幅 $ε$ ・高さ $α / ε$ の障壁（ $α > 0$ ）または井戸（ $α < 0$ ）」の極限で、 $α$ はその面積（強さ）です。

接続条件の導出　シュレーディンガー方程式を $ψ^{''} = \frac{2 m}{ℏ ^{2}} (V - E) ψ$ と書き、 $- ε$ から $ε$ まで積分すると
$ψ^{'} (ε) - ψ^{'} (- ε) = \frac{2 m}{ℏ ^{2}} (α ψ (0) - E \int_{- ε}^{ε} ψ d x)$
です。 $ψ$ は有界なので最後の積分は $ε \to 0$ で $0$ になり、 $ψ^{'} (0^{+}) - ψ^{'} (0^{-}) = \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} ψ (0)$ が残ります。有限のポテンシャルでは右辺が $0$ で $ψ^{'}$ は連続でしたが、デルタ関数は面積が有限なまま 1 点に集中しているので、 $ψ^{'}$ が有限の量だけ跳ぶのです。一方 $ψ$ 自身は連続です（ $ψ^{'}$ が跳ぶだけなら $ψ$ のグラフは折れ曲がるだけで切れません）。 $x \neq = 0$ では $V = 0$ なので、解は自由粒子と同じ振動解・指数関数解です。

束縛状態と散乱　 $E < 0$ では $x \neq = 0$ で指数関数解になり、無限遠で減衰する解は $ψ = A e^{- κ ∣ x ∣}$ （ $κ = - 2 m E /ℏ > 0$ ）です。 $ψ^{'} (0^{+}) - ψ^{'} (0^{-}) = - 2 κ A$ なので、跳びの条件は $- 2 κ A = \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} A$ 、すなわち $κ = - \frac{m α}{ℏ ^{2}}$ となり、 $κ > 0$ のためには $α < 0$ （引力）が必要で、そのとき束縛状態はちょうど 1 つです。 $E > 0$ の散乱では、 $x < 0$ で $e^{ik x} + r e^{- ik x}$ 、 $x > 0$ で $t e^{ik x}$ として $ψ$ の連続と $ψ^{'}$ の跳びを課すと、 $β = \frac{m α}{ℏ ^{2}}$ として $t = \frac{k}{k + i β}$ となり、確率流密度の比から $T = ∣ t ∣^{2} = \frac{1}{1 + β ^{2} / k ^{2}} = \frac{1}{1 + \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2} E}}$ が得られます（左右で波数が同じなので $T = ∣ t ∣^{2}$ ）。

手順

$x < 0$ と $x > 0$ それぞれで $V = 0$ の解を書く： $E < 0$ なら $κ = \frac{- 2 m E}{ℏ}$ で減衰する $e^{κ x}$ （ $x < 0$ ）と $e^{- κ x}$ （ $x > 0$ ）、 $E > 0$ なら $k = \frac{2 m E}{ℏ}$ で入射・反射・透過の振動解
$x = 0$ で $ψ$ の連続条件 $ψ (0^{-}) = ψ (0^{+})$ を立てる
$x = 0$ で $ψ^{'}$ の跳びの条件 $ψ^{'} (0^{+}) - ψ^{'} (0^{-}) = \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} ψ (0)$ を立てる（ $ψ^{'}$ は両側の式をそれぞれ微分して $x \to 0$ とする）
連立方程式を解く：束縛状態なら $κ$ を決めて $E = - \frac{ℏ ^{2} κ ^{2}}{2 m}$ 、散乱なら $r$ , $t$ を求めて $R = ∣ r ∣^{2}$ , $T = ∣ t ∣^{2}$ とし、 $R + T = 1$ で検算する

例題

質量 $m$ の粒子が、ポテンシャル $V (x) = α δ (x)$ （ $α < 0$ の定数）の中にある。この粒子の束縛状態（ $E < 0$ ）のエネルギー $E$ を $m$ , $α$ , $ℏ$ を用いて求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $E < 0$ なので $κ = \frac{- 2 m E}{ℏ} > 0$ とおく。 $x \neq = 0$ では $ψ^{''} = κ^{2} ψ$ で、 $x \to \pm \infty$ で減衰する解は $x < 0$ で $ψ = A e^{κ x}$ 、 $x > 0$ で $ψ = B e^{- κ x}$ 。

【手順 2】 $ψ$ の連続： $ψ (0^{-}) = A$ , $ψ (0^{+}) = B$ より $A = B$ 。よって $ψ = A e^{- κ ∣ x ∣}$ 、 $ψ (0) = A$ （ $A \neq = 0$ ）。

【手順 3】 $ψ^{'} (0^{+}) = - κ A$ , $ψ^{'} (0^{-}) = κ A$ なので、跳びの条件は
$- κ A - κ A = \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} A$

【手順 4】 $A \neq = 0$ で割って $κ = - \frac{m α}{ℏ ^{2}}$ 。 $α < 0$ なので確かに $κ > 0$ 。よって
$E = - \frac{ℏ ^{2} κ ^{2}}{2 m} = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \cdot \frac{m ^{2} α ^{2}}{ℏ ^{4}} = - \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2}}$

答え: $- \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2}}$

よくある誤り

デルタ関数ポテンシャルでも $ψ^{'}$ が連続だとして $ψ^{'} (0^{+}) = ψ^{'} (0^{-})$ を課してしまう誤り。正しくは $ψ^{'} (0^{+}) - ψ^{'} (0^{-}) = \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} ψ (0)$ だけ跳ぶ。 $ψ^{'}$ を連続とすると $ψ = A e^{- κ ∣ x ∣}$ では $- κ A = κ A$ から $A = 0$ となり、束縛状態が見つからない
$ψ = A e^{- κ ∣ x ∣}$ の $x < 0$ 側の微分を $- κ A$ としてしまう誤り。正しくは $x < 0$ では $∣ x ∣ = - x$ で $ψ = A e^{κ x}$ なので $ψ^{'} (0^{-}) = + κ A$ 。跳びは $- κ A - κ A = - 2 κ A$ で、 $- κ A - (- κ A) = 0$ ではない
跳びの係数を $\frac{m α}{ℏ ^{2}}$ や $\frac{2 m α}{ℏ}$ としてしまう誤り。正しくは方程式を $ψ^{''} = \frac{2 m}{ℏ ^{2}} (V - E) ψ$ と書き直して積分するので $\frac{2 m α}{ℏ ^{2}}$ 。その結果 $E = - \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2}}$ で、係数を誤ると $4$ 倍や $\frac{1}{4}$ 倍のずれが出る
斥力 $α > 0$ でも同じ式から束縛状態 $E = - \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2}}$ があるとしてしまう誤り。正しくは $κ = - \frac{m α}{ℏ ^{2}}$ が正になるのは $α < 0$ のときだけなので、 $α > 0$ では束縛状態はなく、散乱（ $T = \frac{1}{1 + m α ^{2} / ( 2 ℏ ^{2} E )} < 1$ ）だけが起こる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m$ の粒子が 1 次元の引力的なデルタ関数ポテンシャル
$V (x) = - g δ (x) (g > 0)$
の中にある。時間に依存しないシュレーディンガー方程式
$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} ψ^{''} (x) + V (x) ψ (x) = E ψ (x)$
の束縛状態（ $E < 0$ ）を考える。 $x \neq = 0$ では $V = 0$ であり、 $x \to \pm \infty$ で $ψ \to 0$ となる解は
$ψ (x) = A e^{- κ ∣ x ∣} (κ = \frac{- 2 m E}{ℏ} > 0, A \neq = 0)$
の形をしている。 $ψ$ は $x = 0$ で連続であり、 $ψ^{'}$ はデルタ関数ポテンシャルによる跳びの条件を満たすとする。
この束縛状態のエネルギー $E$ を、 $m$ , $g$ , $ℏ$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

低エネルギー散乱と散乱長（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））