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発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）

質量 $m$ の粒子が 1 次元のポテンシャル
$V_{0} (x) = - α δ (x) (α > 0)$
の中を運動している。このポテンシャルには束縛状態がただ 1 つ存在する。時刻 $t < 0$ で粒子はこの束縛状態にあり、 $t \geq 0$ で一様な振動電場による摂動
$H^{'} (t) = F x cos ω t$
が加わる。ここで $F$ は十分小さい実定数、 $ω > 0$ は $ℏ ω > \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2}}$ を満たすとする（ $ℏ$ はディラック定数）。

時間に依存する摂動論の 1 次（フェルミの黄金律）を用いて、十分長い時間が経ったときの、束縛状態から連続状態（散乱状態）への単位時間あたりの遷移確率（電離率） $Γ$ を、 $F, α, m, ℏ, ω$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

フェルミの黄金律と連続状態への遷移率（説明と入口の問題）
デルタ関数ポテンシャル（説明と入口の問題）
時間に依存する摂動論（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（118 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

束縛状態の波動関数を求め、摂動 $x$ の偶奇性からどの連続状態に遷移するかを考える。終状態の規格化と状態密度をそろえて黄金律を使う。

ヒント 2

$H^{'} = \frac{F x}{2} (e^{iω t} + e^{- iω t})$ の吸収項だけが寄与し、 $Γ = \frac{2 π}{ℏ} ∣ ⟨ k ∣ \frac{F x}{2} ∣0 ⟩ ∣^{2} \frac{d k}{d E}$ 。終状態は奇関数 $\frac{1}{π} sin k x$ で、デルタ関数の影響を受けない。

ヒント 3

$ψ_{0} = κ e^{- κ ∣ x ∣}$ （ $κ = m α / ℏ^{2}$ ）で、 $⟨ k ∣ x ∣0 ⟩ = \frac{4 κ ^{3/2} k}{π ( κ ^{2} + k ^{2} ) ^{2}}$ 。エネルギー保存から $κ^{2} + k^{2} = 2 mω /ℏ$ となることを使って整理する。

答えと解説

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\frac{F ^{2} α ^{3}}{2 ℏ ^{5} ω ^{4}} \frac{2 mω}{ℏ} - \frac{m ^{2} α ^{2}}{ℏ ^{4}}

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解説を読む

束縛状態 シュレーディンガー方程式 $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} ψ^{''} - α δ (x) ψ = E ψ$ の束縛解は、 $x = 0$ での導関数の跳び $ψ^{'} (0^{+}) - ψ^{'} (0^{-}) = - \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} ψ (0)$ から
$ψ_{0} (x) = κ e^{- κ ∣ x ∣}, κ = \frac{m α}{ℏ ^{2}}, E_{0} = - \frac{ℏ ^{2} κ ^{2}}{2 m} = - \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2}} .$

終状態 摂動 $x$ は奇関数なので、偶の $ψ_{0}$ は奇の連続状態にしか遷移しない（偶の連続状態との行列要素は被積分関数が奇関数で $0$ ）。奇関数は $x = 0$ で $0$ なのでデルタ関数の影響を受けず、
$ψ_{k} (x) = \frac{1}{π} sin k x (k > 0), E_{k} = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$
と取れる。 $\int_{- \infty}^{\infty} sin k x sin k^{'} x d x = π δ (k - k^{'})$ より $⟨ k ∣ k^{'} ⟩ = δ (k - k^{'})$ と規格化されている。エネルギーあたりの状態密度は $\frac{d k}{d E} = \frac{m}{ℏ ^{2} k}$ 。

黄金律 $H^{'} = \frac{F x}{2} (e^{iω t} + e^{- iω t})$ のうち、吸収に対応する $e^{- iω t}$ の項だけがエネルギー保存 $E_{k} = E_{0} + ℏ ω$ を満たしうる（ $E_{0}$ は最低エネルギーなので放出は起こらない）。よって
$Γ = \frac{2 π}{ℏ} ⟨ k \frac{F x}{2} 0 ⟩^{2} \frac{m}{ℏ ^{2} k}, \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m} = ℏ ω - \frac{ℏ ^{2} κ ^{2}}{2 m} .$

行列要素 $\int_{0}^{\infty} x e^{- κ x} sin k x d x = Im \frac{1}{( κ - ik ) ^{2}} = \frac{2 κk}{( κ ^{2} + k ^{2} ) ^{2}}$ より
$⟨ k ∣ x ∣0 ⟩ = \frac{κ}{π} \cdot 2 \cdot \frac{2 κk}{( κ ^{2} + k ^{2} ) ^{2}} = \frac{4 κ ^{3/2} k}{π ( κ ^{2} + k ^{2} ) ^{2}} .$

計算
$Γ = \frac{2 π}{ℏ} \cdot \frac{F ^{2}}{4} \cdot \frac{16 κ ^{3} k ^{2}}{π ( κ ^{2} + k ^{2} ) ^{4}} \cdot \frac{m}{ℏ ^{2} k} = \frac{8 F ^{2} m κ ^{3} k}{ℏ ^{3} ( κ ^{2} + k ^{2} ) ^{4}} .$
エネルギー保存より $κ^{2} + k^{2} = \frac{2 mω}{ℏ}$ なので $(κ^{2} + k^{2})^{4} = \frac{16 m ^{4} ω ^{4}}{ℏ ^{4}}$ で、
$Γ = \frac{F ^{2} ℏ κ ^{3} k}{2 m ^{3} ω ^{4}} .$
$κ^{3} = \frac{m ^{3} α ^{3}}{ℏ ^{6}}$ 、 $k = \frac{2 mω}{ℏ} - \frac{m ^{2} α ^{2}}{ℏ ^{4}}$ を代入して
$Γ = \frac{F ^{2} α ^{3}}{2 ℏ ^{5} ω ^{4}} \frac{2 mω}{ℏ} - \frac{m ^{2} α ^{2}}{ℏ ^{4}} .$
（次元: $F^{2} α^{3} k / (ℏ^{5} ω^{4})$ は $s^{- 1}$ となり整合する。）

別解

束縛状態は $ψ_{0} = κ e^{- κ ∣ x ∣}$ 、 $κ = m α / ℏ^{2}$ 、エネルギーは $E_{0} = - ℏ^{2} κ^{2} /2 m = - m α^{2} /2 ℏ^{2}$ である。

$x$ は奇パリティなので、 $ψ_{0}$ （偶）と結合するのは奇の連続状態だけである。奇の連続状態は $δ$ 関数ポテンシャルの影響を受けず、 $ψ_{k} = sin (k x) / π$ （ $k > 0$ 、 $⟨ k ∣ k^{'} ⟩ = δ (k - k^{'})$ ）である。

行列要素は
$⟨ k ∣ x ∣0 ⟩ = κ / π \cdot 2 \int_{0}^{\infty} x sin k x e^{- κ x} d x = κ / π \frac{4 κk}{( κ ^{2} + k ^{2} ) ^{2}}$ 。

$H^{'} = \frac{F x}{2} (e^{iω t} + e^{- iω t})$ のうち、吸収に寄与するのは $e^{- iω t}$ の項である。黄金律より
$Γ = \frac{2 π}{ℏ} \frac{F ^{2}}{4} \int d k ∣ ⟨ k ∣ x ∣0 ⟩ ∣^{2} δ (E_{k} - E_{0} - ℏ ω)$ 。

終状態の波数は $ℏ^{2} k_{f}^{2} /2 m = ℏ ω + E_{0}$ より $k_{f}^{2} = 2 mω /ℏ - κ^{2}$ で、このとき $κ^{2} + k_{f}^{2} = 2 mω /ℏ$ である。また $δ (E_{k} - \dots) = \frac{m}{ℏ ^{2} k _{f}} δ (k - k_{f})$ を使う。

$Γ = \frac{π F ^{2}}{2ℏ} \frac{m}{ℏ ^{2} k _{f}} \frac{κ}{π} \frac{16 κ ^{2} k _{f}^{2}}{( κ ^{2} + k _{f}^{2} ) ^{4}} = \frac{8 F ^{2} m κ ^{3} k _{f}}{ℏ ^{3} ( κ ^{2} + k _{f}^{2} ) ^{4}}$ 。

$(κ^{2} + k_{f}^{2})^{4} = 16 m^{4} ω^{4} / ℏ^{4}$ を代入すると $Γ = \frac{F ^{2} ℏ κ ^{3} k _{f}}{2 m ^{3} ω ^{4}}$ 。さらに $κ^{3} = m^{3} α^{3} / ℏ^{6}$ を代入して
$Γ = \frac{F ^{2} α ^{3}}{2 ℏ ^{5} ω ^{4}} k_{f}$ 、 $k_{f} = \frac{2 mω}{ℏ} - \frac{m ^{2} α ^{2}}{ℏ ^{4}}$ 。

次元の確認： $F^{2} α^{3} \sim E^{5} L$ 、 $ℏ^{5} ω^{4} \sim E^{5} t$ 、 $k_{f} \sim 1/ L$ なので $Γ \sim 1/ t$ となり整合する。

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