発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）

スピン $1/2$ の電子 1 個が、軌道角運動量量子数 $l = 2$ の状態（d 状態）にあるとする。動径部分は共通で、以下ではすべて $l = 2$ の 10 次元の状態空間の中で考える。\n\n $L$ と $S$ を合成した全角運動量 $J = L + S$ の固有状態を $∣ j, m ⟩$ （ $j = 5/2, 3/2$ ）と書く。 $∣ j, m ⟩$ は $∣ l = 2, m_{l} ⟩ \otimes ∣ s = 1/2, m_{s} ⟩$ から、コンドン・ショートレーの位相規約に従うクレブシュ・ゴルダン係数で作るものとする（合成の順序は $l \otimes s$ ）。\n\n $T_{0}^{(2)}$ を、軌道の自由度にだけ作用するエルミートなランク 2 の球テンソル演算子の $q = 0$ 成分とする（例: $3 z^{2} - r^{2}$ に比例する電気四重極演算子）。 $T_{0}^{(2)}$ はスピンには作用しない。また\n $Q = ⟨ l = 2, m_{l} = 2, m_{s} ∣ T_{0}^{(2)} ∣ l = 2, m_{l} = 2, m_{s} ⟩$ \nとおく（ $Q$ は実数で、 $m_{s}$ によらない）。\n\nこのとき\n $S = m = - 3/2 \sum 3/2 ⟨ j = \frac{3}{2}, m ∣ T_{0}^{(2)} ∣ j = \frac{5}{2}, m ⟩^{2}$ \nを $Q$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

ウィグナー・エッカルトの定理（説明と入口の問題）
角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数（説明と入口の問題）
球テンソル演算子と選択則（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$T_{0}^{(2)}$ は軌道にしか作用せず、 $L_{z}$ と可換です。まず非結合基底 $∣ m_{l}, m_{s} ⟩$ での行列要素をすべて $Q$ で表し、そのあと $∣ j, m ⟩$ をクレブシュ・ゴルダン係数で展開しましょう。

ヒント 2

ウィグナー・エッカルトの定理から $⟨ 2, m_{l} ∣ T_{0}^{(2)} ∣2, m_{l} ⟩ \propto 3 m_{l}^{2} - l (l + 1) = 3 m_{l}^{2} - 6$ です。また $j = l \pm \frac{1}{2}$ の合成状態は $∣ m - \frac{1}{2}, ↑ ⟩$ と $∣ m + \frac{1}{2}, ↓ ⟩$ の 2 項の重ね合わせで書けます。

ヒント 3

非結合基底での値は $⟨ \pm 2∣ T_{0} ∣ \pm 2 ⟩ = Q$ 、 $⟨ \pm 1∣ T_{0} ∣ \pm 1 ⟩ = - Q /2$ 、 $⟨ 0∣ T_{0} ∣0 ⟩ = - Q$ です。たとえば $m = 3/2$ では $∣ \frac{5}{2}, \frac{3}{2} ⟩ = 4/5 ∣1 ↑ ⟩ + 1/5 ∣2 ↓ ⟩$ 、 $∣ \frac{3}{2}, \frac{3}{2} ⟩ = - 1/5 ∣1 ↑ ⟩ + 4/5 ∣2 ↓ ⟩$ となります。

答えと解説

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\frac{21}{25} Q^{2}

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解説を読む

1. 軌道部分の行列要素（ウィグナー・エッカルトの定理）\n\n $T_{0}^{(2)}$ は $L_{z}$ と可換なので、 $l = 2$ の空間では $m_{l}$ について対角になる。ウィグナー・エッカルトの定理から、対角要素はクレブシュ・ゴルダン係数 $⟨ l m_{l}; 2 0∣ l m_{l} ⟩$ に比例する。この係数は $3 m_{l}^{2} - l (l + 1)$ に比例するので、\n $⟨ 2, m_{l} ∣ T_{0}^{(2)} ∣2, m_{l} ⟩ = c (3 m_{l}^{2} - 6)$ \nと書ける。 $m_{l} = 2$ で $6 c = Q$ だから $c = Q /6$ である。よって\n $⟨ 2, \pm 2∣ T_{0} ∣2, \pm 2 ⟩ = Q, ⟨ 2, \pm 1∣ T_{0} ∣2, \pm 1 ⟩ = - \frac{Q}{2}, ⟨ 2, 0∣ T_{0} ∣2, 0 ⟩ = - Q .$ \nスピンには作用しないので、 $m_{s}$ は保存され、値は $m_{s}$ によらない。\n\n2. 合成状態（コンドン・ショートレー規約）\n\n $l = 2$ では次のようになる。\n $∣ \frac{5}{2}, m ⟩ = \frac{5/2 + m}{5} ∣ m - \frac{1}{2}, ↑ ⟩ + \frac{5/2 - m}{5} ∣ m + \frac{1}{2}, ↓ ⟩,$ \n $∣ \frac{3}{2}, m ⟩ = - \frac{5/2 - m}{5} ∣ m - \frac{1}{2}, ↑ ⟩ + \frac{5/2 + m}{5} ∣ m + \frac{1}{2}, ↓ ⟩ .$ \n\n3. 各 $m$ の非対角要素\n\n $T_{0}$ は $∣ m_{l}, m_{s} ⟩$ について対角なので、同じ基底どうしの寄与だけが残る。\n\n- $m = 3/2$ :\n $\frac{4}{5} (- \frac{1}{5}) (- \frac{Q}{2}) + \frac{1}{5} \frac{4}{5} Q = \frac{Q}{5} + \frac{2 Q}{5} = \frac{3 Q}{5}$ \n- $m = 1/2$ :\n $\frac{3}{5} (- \frac{2}{5}) (- Q) + \frac{2}{5} \frac{3}{5} (- \frac{Q}{2}) = \frac{6}{5} Q - \frac{6}{10} Q = \frac{6}{10} Q$ \n- $m = - 1/2$ :\n $\frac{2}{5} (- \frac{3}{5}) (- \frac{Q}{2}) + \frac{3}{5} \frac{2}{5} (- Q) = - \frac{6}{10} Q$ \n- $m = - 3/2$ :\n $\frac{1}{5} (- \frac{4}{5}) Q + \frac{4}{5} \frac{1}{5} (- \frac{Q}{2}) = - \frac{3 Q}{5}$ \n\n4. 和\n\n $S = 2 (\frac{9}{25} + \frac{6}{100}) Q^{2} = 2 \cdot \frac{42}{100} Q^{2} = \frac{21}{25} Q^{2} .$ \n\n検算（トレースの和則）\n\n $l = 2$ の 10 次元空間で $Tr (T_{0}^{2})$ を計算すると\n $Tr (T_{0}^{2}) = 2 (Q^{2} + Q^{2} + \frac{1}{4} Q^{2} + \frac{1}{4} Q^{2} + Q^{2}) = 7 Q^{2} .$ \n一方、 $j$ 基底で分けて計算する。

$j = 5/2$ 内の対角要素は $3 m^{2} - \frac{35}{4}$ に比例し、 $m = \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{1}{2}$ に対して $Q, - \frac{Q}{5}, - \frac{4 Q}{5}$ となる。二乗和は $\frac{84}{25} Q^{2}$ である。
$j = 3/2$ 内の対角要素は $\pm \frac{7 Q}{10}$ で、二乗和は $\frac{49}{25} Q^{2}$ である。

よって\n $\frac{84}{25} Q^{2} + \frac{49}{25} Q^{2} + 2 S = \frac{133}{25} Q^{2} + \frac{42}{25} Q^{2} = 7 Q^{2}$ \nとなり、一致する。\n\n答え: $S = \frac{21}{25} Q^{2}$

別解

$T_{0}^{(2)}$ はスピンに作用しないので、軌道部分の対角成分を $t (m_{l}) = ⟨ 2, m_{l} ∣ T_{0}^{(2)} ∣2, m_{l} ⟩$ とおく。\n\n1. 対角成分を求める。ウィグナー・エッカルトの定理より、 $l = 2$ の内部で $t (m_{l}) \propto 3 m_{l}^{2} - 6$ である。 $m_{l} = 2$ のとき $t = Q$ なので、 $t (m_{l}) = Q (\frac{m _{l}^{2}}{2} - 1)$ となる。 $q = 0$ なので $m_{l}$ は変わらず、非対角成分は 0 である。\n\n2. クレブシュ・ゴルダン係数（ $l \otimes s$ 、コンドン・ショートレー位相規約）を書く。\n $∣5/2, m ⟩ = \frac{5/2 + m}{5} ∣ m - \frac{1}{2}, ↑ ⟩ + \frac{5/2 - m}{5} ∣ m + \frac{1}{2}, ↓ ⟩$ \n $∣3/2, m ⟩ = - \frac{5/2 - m}{5} ∣ m - \frac{1}{2}, ↑ ⟩ + \frac{5/2 + m}{5} ∣ m + \frac{1}{2}, ↓ ⟩$ \n\n3. 行列要素を計算する。\n $⟨ 3/2, m ∣ T ∣5/2, m ⟩ = \frac{25/4 - m ^{2}}{5} [t (m + \frac{1}{2}) - t (m - \frac{1}{2})]$ \nここで $t (m + \frac{1}{2}) - t (m - \frac{1}{2}) = \frac{Q}{2} [(m + \frac{1}{2})^{2} - (m - \frac{1}{2})^{2}] = Q m$ なので、\n $⟨ 3/2, m ∣ T ∣5/2, m ⟩ = \frac{Q m 25/4 - m ^{2}}{5}$ \n\n4. 二乗して $m$ について和を取る。 $∣ 行列要素 ∣^{2} = \frac{Q ^{2} m ^{2} ( 25/4 - m ^{2} )}{25}$ である。\n- $m = \pm 3/2$ : $\frac{9}{4} \cdot 4 = 9$ より $\frac{9}{25} Q^{2}$ ずつ\n- $m = \pm 1/2$ : $\frac{1}{4} \cdot 6 = \frac{3}{2}$ より $\frac{3}{50} Q^{2}$ ずつ\n\n $S = 2 (\frac{9}{25} + \frac{3}{50}) Q^{2} = 2 \cdot \frac{21}{50} Q^{2} = \frac{21}{25} Q^{2}$ \n\n5. 検算として、ウィグナー・エッカルトの定理による別の方法を使う。 $\sum_{m} ∣ ⟨ 3/2, m ∣ T_{0} ∣5/2, m ⟩ ∣^{2}$ は reduced matrix element と 3j 記号の積の二乗和になる。これは上の直接計算と整合する。なお、 $j = 5/2$ の対角和 $\sum_{m} ⟨ 5/2, m ∣ T ∣5/2, m ⟩ = 0$ も確かめられる。\n\n答え： $S = \frac{21}{25} Q^{2}$

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