発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）の問題

1. ディラック方程式のクーロン問題の固有値

全角運動量 $j$ と $\kappa =\mp (j+\frac{1}{2})$ で角度部分を分離すると、動径方向の大成分・小成分 $G(r),F(r)$ に対する連立 1 階微分方程式が得られる。原点付近で $G,F\propto r^{\gamma -1}$ とおくと
$$\gamma =\sqrt{{\kappa }^2-(Z\alpha {)}^2}$$
となり、無限遠で減衰する解が存在する条件（級数が多項式で切れる条件）から、動径量子数 $n_r=0,1,2,\dots$ を用いて
$$E=m{c}^2{\left[1+\frac{(Z\alpha {)}^2}{(n_r+\gamma {)}^2}\right]}^{-1/2}$$
が得られる。主量子数を $n=n_r+|\kappa |$、$k=|\kappa |=j+\frac{1}{2}$ とおくと
$$E_{nj}=m{c}^2{\left[1+\frac{(Z\alpha {)}^2}{{\left(n-k+\sqrt{k^2-(Z\alpha {)}^2}\right)}^2}\right]}^{-1/2}.$$
エネルギーは $n$ と $j$ だけで決まり、$2s_{1/2}$ と $2p_{1/2}$ は縮退する（$k=1$）。$2p_{3/2}$ は $k=2$ である。

2. $x=Z\alpha$ による展開

$\sqrt{k^2-x^2}=k-\frac{x^2}{2k}-\frac{x^4}{8k^3}+O(x^6)$ より
$$N\equiv n-k+\sqrt{k^2-x^2}=n\left(1-\delta \right),\delta =\frac{x^2}{2kn}+\frac{x^4}{8k^{3}n}+O(x^6).$$
$(1-\delta {)}^{-2}=1+2\delta +3{\delta }^2+\cdots$ を用いて
$$u\equiv \frac{x^2}{N^2}=\frac{x^2}{n^2}+\frac{x^4}{k{n}^3}+x^6\left(\frac{1}{4k^3{n}^3}+\frac{3}{4k^2{n}^4}\right)+O(x^8).$$
また $u^2=\frac{x^4}{n^4}+\frac{2x^6}{k{n}^5}+O(x^8)$、$u^3=\frac{x^6}{n^6}+O(x^8)$。
$(1+u{)}^{-1/2}=1-\frac{u}{2}+\frac{3u^2}{8}-\frac{5u^3}{16}+\cdots$ に代入して
$$\frac{E_{nj}}{m{c}^2}=1-\frac{x^2}{2n^2}+x^4\left(-\frac{1}{2k{n}^3}+\frac{3}{8n^4}\right)+x^6\left(-\frac{1}{8k^3{n}^3}-\frac{3}{8k^2{n}^4}+\frac{3}{4k{n}^5}-\frac{5}{16n^6}\right)+O(x^8).$$
$x^4$ の項は $-\frac{x^4}{2n^4}\left(\frac{n}{k}-\frac{3}{4}\right)$ であり、パウリ近似（相対論的運動エネルギー補正・スピン軌道相互作用・ダーウィン項）で得られる通常の微細構造公式と一致する。

3. $n=2$ でのエネルギー差

$k$ によらない項は差で打ち消し合う。$n=2$ のとき $k$ に依存する部分は
- $x^4$ の係数：$-\frac{1}{16k}$
- $x^6$ の係数：$f(k)=-\frac{1}{64k^3}-\frac{3}{128k^2}+\frac{3}{128k}$

である。

$x^4$ の項：$-\frac{1}{32}-\left(-\frac{1}{16}\right)=\frac{1}{32}$。

$x^6$ の項：
$$f(1)=-\frac{2}{128}-\frac{3}{128}+\frac{3}{128}=-\frac{1}{64},f(2)=-\frac{1}{512}-\frac{3}{512}+\frac{6}{512}=\frac{1}{256}$$
より $f(2)-f(1)=\frac{1}{256}+\frac{4}{256}=\frac{5}{256}$。

したがって
$$\Delta E=m{c}^2\left[\frac{(Z\alpha {)}^4}{32}+\frac{5(Z\alpha {)}^6}{256}+\cdots \right]=\frac{m{c}^2(Z\alpha {)}^4}{32}\left[1+\frac{5}{8}(Z\alpha {)}^2+\cdots \right].$$

答え：$(a,b)=\left(\frac{1}{32},\frac{5}{256}\right)$

ディラック・クーロン問題の厳密解は $E=m{c}^2{\left[1+\frac{(Z\alpha {)}^2}{(n-|\kappa |+\sqrt{{\kappa }^2-(Z\alpha {)}^2}{)}^2}\right]}^{-1/2}$ である。$g=(Z\alpha {)}^2$、$N=n-|\kappa |+\sqrt{{\kappa }^2-g}$ とおく。

$2p_{3/2}$ は $|\kappa |=2$、$2s_{1/2}$ は $|\kappa |=1$ である（$n=2$）。

$N=n-\delta$、$\delta =\frac{g}{2|\kappa |}+\frac{g^2}{8|\kappa {|}^3}+\cdots$ と展開し、$A=g/N^2$ を $g^3$ まで求めると
$A=\frac{g}{n^2}+\frac{g^2}{n^3|\kappa |}+g^3\left(\frac{1}{4n^3|\kappa {|}^3}+\frac{3}{4n^4{\kappa }^2}\right)$。

これを $E/m{c}^2=(1+A{)}^{-1/2}=1-\frac{A}{2}+\frac{3A^2}{8}-\frac{5A^3}{16}$ に代入する。

$g^2$ の係数は $-\frac{1}{2n^3|\kappa |}+\frac{3}{8n^4}$ である。$n=2$ では $|\kappa |=2$ のとき $-\frac{1}{128}$、$|\kappa |=1$ のとき $-\frac{5}{128}$。差は $\frac{4}{128}=\frac{1}{32}$ なので $a=\frac{1}{32}$。

$g^3$ の係数は $-\frac{1}{8n^3|\kappa {|}^3}-\frac{3}{8n^4{\kappa }^2}+\frac{3}{4n^5|\kappa |}-\frac{5}{16n^6}$ である。$n=2$ では $|\kappa |=2$ のとき $-\frac{1}{1024}$、$|\kappa |=1$ のとき $-\frac{1}{64}-\frac{5}{1024}=-\frac{21}{1024}$。差は $\frac{20}{1024}=\frac{5}{256}$ なので $b=\frac{5}{256}$。

検算：$g^1$ の係数は $-1/(2n^2)$ で $\kappa$ によらず、差に寄与しない。$2s_{1/2}$ の $g^3$ 係数 $-21/1024$ は、$2s_{1/2}$ と縮退する $2p_{1/2}$ の既知の展開と一致する。

よって $(a,b)=\left(\frac{1}{32},\frac{5}{256}\right)$。