発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）

質量 $m$ の粒子が、球対称な指数関数型ポテンシャル
$$V(r)=V_0{e}^{-r/a}(V_0\text{は 0 でない実定数},a>0)$$
によって弾性散乱される。入射粒子の波数を $k>0$、散乱角を $\theta$（$0\le \theta \le \pi$）とし、換算プランク定数を $\hslash$ とする。

球対称ポテンシャルに対する 1 次のボルン近似の散乱振幅
$$f^{(1)}(\theta )=-\frac{2m}{{\hslash }^{2}q}{\int }_0^{\infty }rV(r)\sin (qr)dr,q=2k\sin \frac{\theta }{2}$$
と微分断面積 $\frac{d\sigma }{d\Omega }=|f^{(1)}(\theta ){|}^2$ を用いる。ただし $\theta =0$（$q=0$）での値は $q\to 0$ の極限で定める。

$ka=1$ のとき、後方散乱（$\theta =\pi$）の微分断面積と前方散乱（$\theta =0$）の微分断面積の比
$$\frac{{\frac{d\sigma }{d\Omega }|}_{\theta =\pi }}{{\frac{d\sigma }{d\Omega }|}_{\theta =0}}$$
を既約分数で求めよ。

質量 $m$ の粒子が、半径 $a>0$ の剛体球ポテンシャル
$$V(r)=\{\begin{array}{ll}\infty & (r<a)\\ 0& (r>a)\end{array}$$
によって弾性散乱される。入射粒子の波数 $k$ は $ka=\frac{\pi }{6}$ をみたすとする。

$l=0$（s 波）の動径関数 $u_0(r)=r{R}_0(r)$ は $r>a$ で $u_0\propto \sin (kr+{\delta }_0)$ と書ける。境界条件 $u_0(a)=0$ から位相のずれ ${\delta }_0$ を求め、全断面積への s 波の寄与
$${\sigma }_0=\frac{4\pi }{k^2}{\sin }^2{\delta }_0$$
を $a$ を用いて表せ。

無摂動ハミルトニアン $H_0$ の 2 つの固有状態 $|1⟩$, $|2⟩$（エネルギー $E_1<E_2$）をもつ系を考え、${\omega }_{21}=\frac{E_2-E_1}{\hslash }$ とおく。時刻 $t<0$ では摂動はなく、系は $|1⟩$ にある。$t\ge 0$ で時間に依存する摂動 $H^{\prime }(t)$ がはたらき、その行列要素は
$$⟨2|H^{\prime }(t)|1⟩=V_0{e}^{-t/\tau }(t\ge 0)$$
である。ただし $V_0$ は実定数、$\tau >0$ は定数とする。

時間に依存する摂動論の 1 次の範囲で、十分時間がたった後（$t\to \infty$）に系が $|2⟩$ に見いだされる確率 $P_{1\to 2}$ を $V_0,\tau ,{\omega }_{21},\hslash$ を用いて表せ。

スピン $1/2$ の粒子が、大きさ一定で向きが単位ベクトル
$$\mathbf{n}(\theta ,\phi )=(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta )$$
の磁場の中にある。$\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{n}$ の固有値 $+1$ の固有状態として
$$|n_{+}(\theta ,\phi )⟩=\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}\\ e^{i\phi }\sin \frac{\theta }{2}\end{array}\right)$$
をとる（$\mathbf{\sigma }$ はパウリ行列）。

磁場の向きを $\theta =\frac{\pi }{3}$ に固定したまま、$\phi$ を $0$ から $2\pi$ までゆっくり（断熱的に）1 周させる。このとき状態 $|n_{+}⟩$ が得るベリー位相
$$\gamma =\oint A_{\phi }d\phi ,A_{\phi }=i⟨n_{+}|\frac{\partial }{\partial \phi }{n}_{+}⟩$$
を求めよ。ただし上の $|n_{+}⟩$ の位相の選び方のまま計算した値を答えよ。

質量 $m$、電荷 $q>0$ の粒子が、$xy$ 平面上の原点を中心とする半径 $R$ の細いリング上だけを動く（1 次元の円周上の運動）。リングの中心を $z$ 軸方向に細く長いソレノイドが貫いており、ソレノイドの内部にだけ磁束 $\Phi$ が閉じ込められていて、リング上の磁場は $0$ である。リング上のベクトルポテンシャルは周方向成分のみで $A_{\phi }=\frac{\Phi }{2\pi R}$ とする。

磁束量子を ${\Phi }_0=\frac{h}{q}=\frac{2\pi \hslash }{q}$ とし、$\Phi =\frac{{\Phi }_0}{4}$ のとき、この粒子のエネルギー準位のうち最も低いもの（基底状態のエネルギー）を $\hslash ,m,R$ を用いて表せ。

1 次元の自由粒子（質量 $m$）の伝播関数は
$$K(x,t;y,0)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hslash t}}\exp \left[\frac{im(x-y{)}^2}{2\hslash t}\right](t>0)$$
である。時刻 $t=0$ の波動関数が
$$\psi (x,0)=(2\pi {\sigma }^2{)}^{-1/4}\exp \left(-\frac{x^2}{4{\sigma }^2}\right)(\sigma >0)$$
のとき、$\psi (x,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }K(x,t;y,0)\psi (y,0)dy$ で時間発展させる。

位置の分散 $⟨x^2⟩$ は $t=0$ で ${\sigma }^2$ である。$⟨x^2⟩$ が初めて $2{\sigma }^2$ になる時刻 $t(>0)$ を $m,\sigma ,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の自由なディラック粒子のハミルトニアンを
$$H=c\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{p}+\beta m{c}^2,{\alpha }_i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_i\\ {\sigma }_i& 0\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& -I_2\end{array}\right)$$
（ディラック表示、${\sigma }_i$ はパウリ行列、$I_2$ は 2 次の単位行列）とする。運動量が $z$ 軸の正の向きで大きさ $p=\frac{3}{4}mc$ の平面波解 $\psi =u{e}^{i(pz-Et)/\hslash }$ を考える。

正のエネルギー $E>0$ をもち、4 成分スピノル $u=(u_1,u_2,u_3,u_4{)}^{\mathsf{T}}$ の上 2 成分が $(u_1,u_2)=(1,0)$ に比例する解について、比 $\frac{u_3}{u_1}$ を求めよ。

球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$（$l=0,1,2,\dots$、$m=-l,\dots ,l$）は正規直交系をなすとする。演算子 $\frac{(x+iy)z}{r^2}=\sin \theta \cos \theta e^{i\phi }$ の角度部分の行列要素
$$M_{l^{\prime }{m}^{\prime }}=\int Y_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}(\theta ,\phi {)}^{\ast }\sin \theta \cos \theta e^{i\phi }{Y}_1^0(\theta ,\phi )d\Omega$$
を考える（$d\Omega =\sin \theta d\theta d\phi$、積分は全立体角）。

ある $m^{\prime }$ に対して $M_{l^{\prime }{m}^{\prime }}\ne 0$ となるような $l^{\prime }$ をすべて求め、集合で答えよ。

波数 $k>0$ の粒子の、吸収（非弾性過程）をともなう散乱を考える。散乱振幅は部分波展開で
$$f(\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)\frac{S_l-1}{2ik}{P}_l(\cos \theta )$$
と書け、ここでは $l=0$ の部分波だけが散乱に寄与し、$S_0=\frac{1}{2}$、$S_l=1(l\ge 1)$ であるとする（$P_l$ はルジャンドル多項式で $P_l(1)=1$）。

光学定理 ${\sigma }_{\mathrm{tot}}=\frac{4\pi }{k}\mathrm{Im}f(0)$ を用いて、全断面積 ${\sigma }_{\mathrm{tot}}$（弾性散乱と吸収の断面積の和）を $k$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、球対称なデルタ殻ポテンシャル
$$V(r)=\frac{{\hslash }^{2}g}{2m}\delta (r-R)\left(R>0,g=\frac{2}{R}\right)$$
によって散乱される。s 波の動径関数 $u_0(r)=r{R}_0(r)$ は $u_0(0)=0$ をみたし、$r=R$ で連続で、導関数は
$$u_0^{\prime }(R+0)-u_0^{\prime }(R-0)=g{u}_0(R)$$
の跳びをもつ。

エネルギー $0$（$k=0$）の s 波の解は $r>R$ で $u_0\propto r-a$ と書け、この $a$ を散乱長という。低エネルギーの極限 $k\to 0$ での全断面積 $\sigma =4\pi a^2$ を $R$ を用いて表せ。

エネルギー $E_0>0$ の離散的な状態 $|i⟩$ が、摂動 $V$（時間によらない）によって 1 次元の自由粒子（質量 $m$）の連続状態に崩壊する。自由粒子の状態は長さ $L$ の周期境界条件で箱規格化し、
$$⟨x|k⟩=\frac{1}{\sqrt{L}}{e}^{ikx},k=\frac{2\pi n}{L}(n\text{は整数}),E_k=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$$
とする。行列要素は $k$ によらず $⟨k|V|i⟩=\frac{g}{\sqrt{L}}$（$g$ は実定数）であるとする。

$L$ が十分大きいとして、フェルミの黄金律により $|i⟩$ から連続状態への遷移率 $\Gamma$（単位時間あたりの遷移確率）を $g,m,E_0,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子のラグランジアンを
$$L=\frac{m}{2}{\dot{x}}^2-\frac{m{\omega }^2}{2}{x}^2$$
とする。調和振動子の伝播関数 $K(x_b,T;x_a,0)$ の位相を与える古典作用 $S_{\mathrm{cl}}={\int }_0^{T}Ldt$（古典解に沿った作用）を、境界条件
$$x(0)=A,x(T)=A,T=\frac{\pi }{3\omega }$$
のもとで求め、$m,\omega ,A$ を用いて表せ。ただし $A$ は実定数とする。

ディラック方程式の非相対論的極限を $(v/c{)}^2$ の次数までとると、水素型原子（原子番号 $Z$、電子の質量 $m$、微細構造定数 $\alpha$）のエネルギー準位は、相対論的運動エネルギー補正・スピン軌道相互作用・ダーウィン項をすべて合わせて、ボーア準位からのずれ
$$E_{nj}^{(1)}=-\frac{m{c}^2(Z\alpha {)}^4}{2n^4}\left(\frac{n}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4}\right)$$
をもつ（$n$ は主量子数、$j$ は全角運動量量子数）。

水素原子（$Z=1$）の $n=2$ の準位で、$2P_{3/2}$（$j=\frac{3}{2}$）と $2P_{1/2}$（$j=\frac{1}{2}$）のエネルギー差 $E(2P_{3/2})-E(2P_{1/2})$ は $m{c}^2{\alpha }^4$ の何倍か。分数で答えよ。

点状の原子核（電荷 $+Ze$）のクーロン場中の電子（質量 $m$）に対するディラック方程式の束縛状態のエネルギー（静止エネルギーを含む）は
$$E_{nj}=m{c}^2{\left[1+{\left(\frac{Z\alpha }{n-{\delta }_j}\right)}^2\right]}^{-1/2},{\delta }_j=j+\frac{1}{2}-\sqrt{{\left(j+\frac{1}{2}\right)}^2-(Z\alpha {)}^2}$$
で与えられる（$\alpha$ は微細構造定数、$n$ は主量子数、$j$ は全角運動量量子数）。

重い水素型イオンで $Z\alpha =\frac{3}{5}$ とみなせるとき、基底状態 $1s_{1/2}$（$n=1$, $j=\frac{1}{2}$）のエネルギー $E_{1,1/2}$ は $m{c}^2$ の何倍か。分数で答えよ。

ある系の角運動量 $j=1$ の固有状態 $|1,m⟩$（$m=-1,0,1$）と、階数 $1$ の球テンソル演算子（ベクトル演算子）$T_q^{(1)}$（$q=-1,0,1$）を考える。ウィグナー・エッカルトの定理を
$$⟨j^{\prime }{m}^{\prime }|T_q^{(k)}|jm⟩=⟨jm;kq|j^{\prime }{m}^{\prime }⟩\frac{⟨j^{\prime }\Vert T^{(k)}\Vert j⟩}{\sqrt{2j^{\prime }+1}}$$
の形で用いる（$⟨jm;kq|j^{\prime }{m}^{\prime }⟩$ はコンドン・ショートレーの位相のクレブシュ・ゴルダン係数）。

行列要素が $⟨1,1|T_0^{(1)}|1,1⟩=A$（$A$ は実定数）であるとき、$⟨1,1|T_{+1}^{(1)}|1,0⟩$ を $A$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、次の球対称なデルタ殻ポテンシャルによって散乱される。
$$V(r)=\frac{{\hslash }^{2}g}{2m}\delta (r-R)$$
ここで $g>0$（斥力）、$R>0$ は定数である。入射粒子のエネルギーを $E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k>0$）とし、$s$ 波の位相のずれ ${\delta }_0$ を用いて、散乱長 $a$ を
$${\delta }_0\simeq -ka(k\to 0)$$
で定義する。エネルギーが $0$ に近づく極限 $k\to 0$ での全断面積 $\underset{k\to 0}{\lim }{\sigma }_{\text{tot}}$ を、$g$ と $R$ を用いて表せ。

質量 $m$ の非相対論的な粒子が、中心力ポテンシャル
$$V(r)=V_0{e}^{-r^2/a^2}(V_0\text{ は実定数},a>0)$$
によって散乱される。入射粒子の波数を $k>0$（エネルギー $E={\hslash }^2{k}^2/(2m)$）とし、散乱振幅は第 1 ボルン近似で評価する。散乱振幅 $f$ は、入射平面波 $e^{ikz}$ に対して漸近形 $\psi \sim e^{ikz}+f(\theta )e^{ikr}/r$ で定義する。このとき、全断面積 $\sigma$ を $m,V_0,a,k,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が 1 次元のポテンシャル
$$V_0(x)=-\alpha \delta (x)(\alpha >0)$$
の中を運動している。このポテンシャルには束縛状態がただ 1 つ存在する。時刻 $t<0$ で粒子はこの束縛状態にあり、$t\ge 0$ で一様な振動電場による摂動
$$H^{\prime }(t)=Fx\cos \omega t$$
が加わる。ここで $F$ は十分小さい実定数、$\omega >0$ は $\hslash \omega >\frac{m{\alpha }^2}{2{\hslash }^2}$ を満たすとする（$\hslash$ はディラック定数）。

時間に依存する摂動論の 1 次（フェルミの黄金律）を用いて、十分長い時間が経ったときの、束縛状態から連続状態（散乱状態）への単位時間あたりの遷移確率（電離率）$\Gamma$ を、$F,\alpha ,m,\hslash ,\omega$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、中心力ポテンシャル
$$V(r)=V_0{e}^{-r^2/a^2}(V_0\text{は実数の定数},a>0)$$
によって散乱される。$\hslash$ はディラック定数とする。入射波を $e^{ikz}$（$k>0$ は波数）とし、遠方での波動関数を
$$\psi (\mathbf{r})\simeq e^{ikz}+f(\theta )\frac{e^{ikr}}{r}$$
と書く。散乱振幅 $f(\theta )$ を第 1 ボルン近似で求め、それを用いて全断面積
$$\sigma =\int |f(\theta ){|}^{2}d\Omega$$
を $m,V_0,a,\hslash ,k$ を用いて表せ。ポテンシャルの中心は空間に固定されているものとする（反跳は考えない）。

質量 $m$ の電子が、電荷 $Ze$ の点状の原子核のつくるクーロンポテンシャル
$$V(r)=-\frac{Z\alpha \hslash c}{r}$$
の中を運動する水素様イオンを考える。電子はディラック方程式に従うとする。$\alpha$ は微細構造定数、$c$ は光速度、$\hslash$ は換算プランク定数である。原子核の質量は無限大とし、原子核の大きさ、超微細構造、量子電磁力学的補正（ラムシフトなど）はすべて無視する。エネルギー固有値は静止エネルギー $m{c}^2$ を含めたものとする。

準位 $2p_{3/2}$ と $2s_{1/2}$ のエネルギー差 $\Delta E=E(2p_{3/2})-E(2s_{1/2})$ を $Z\alpha$ で展開して
$$\Delta E=m{c}^2\left[a(Z\alpha {)}^4+b(Z\alpha {)}^6+O\left((Z\alpha {)}^8\right)\right]$$
と表す。有理数の定数 $a,b$ を求め、組 $(a,b)$ の形で答えよ。

スピン $1/2$ の電子 1 個が、軌道角運動量量子数 $l=2$ の状態（d 状態）にあるとする。動径部分は共通で、以下ではすべて $l=2$ の 10 次元の状態空間の中で考える。\n\n$\mathbf{L}$ と $\mathbf{S}$ を合成した全角運動量 $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ の固有状態を $|j,m⟩$（$j=5/2,3/2$）と書く。$|j,m⟩$ は $|l=2,m_l⟩\otimes |s=1/2,m_s⟩$ から、コンドン・ショートレーの位相規約に従うクレブシュ・ゴルダン係数で作るものとする（合成の順序は $l\otimes s$）。\n\n$T_0^{(2)}$ を、軌道の自由度にだけ作用するエルミートなランク 2 の球テンソル演算子の $q=0$ 成分とする（例: $3z^2-r^2$ に比例する電気四重極演算子）。$T_0^{(2)}$ はスピンには作用しない。また\n$$Q=⟨l=2,m_l=2,m_s|T_0^{(2)}|l=2,m_l=2,m_s⟩$$\nとおく（$Q$ は実数で、$m_s$ によらない）。\n\nこのとき\n$$S=\sum _{m=-3/2}^{3/2}{\left|⟨j=\frac{3}{2},m|T_0^{(2)}|j=\frac{5}{2},m⟩\right|}^2$$\nを $Q$ を用いて表せ。

質量 $m$ の非相対論的な粒子が、次の球対称ポテンシャルによって 3 次元で散乱される。
$$V(r)=\{\begin{array}{ll}\infty & (0\le r<b)\\ \frac{{\hslash }^{2}g}{2m}\delta (r-R)& (r\ge b)\end{array}$$
ここで $b$, $R$ は $0<b<R$ を満たす定数、$g$ は正の定数（反発的なデルタ殻）である。すなわち、半径 $b$ の剛体球の外側に、半径 $R$ の球殻状のデルタ関数ポテンシャルがある。

入射粒子の波数を $k$ とする。エネルギーを $0$ に近づけた極限 $k\to 0$ における全散乱断面積 ${\sigma }_0=\underset{k\to 0}{\lim }{\sigma }_{\text{tot}}(k)$ を、$b$, $R$, $g$ を用いて表せ。