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発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）

1 次元の自由粒子（質量 $m$ ）の伝播関数は
$K (x, t; y, 0) = \frac{m}{2 π i ℏ t} exp [\frac{im ( x - y ) ^{2}}{2ℏ t}] (t > 0)$
である。時刻 $t = 0$ の波動関数が
$ψ (x, 0) = (2 π σ^{2})^{- 1/4} exp (- \frac{x ^{2}}{4 σ ^{2}}) (σ > 0)$
のとき、 $ψ (x, t) = \int_{- \infty}^{\infty} K (x, t; y, 0) ψ (y, 0) d y$ で時間発展させる。

位置の分散 $⟨ x^{2} ⟩$ は $t = 0$ で $σ^{2}$ である。 $⟨ x^{2} ⟩$ が初めて $2 σ^{2}$ になる時刻 $t (> 0)$ を $m, σ, ℏ$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

経路積分と自由粒子の伝播関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（138 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

経路積分で得た自由粒子の伝播関数を初期波束にかけて $y$ で積分する。被積分関数はガウス型なので、平方完成してガウス積分の公式を使う。

ヒント 2

$a = \frac{1}{4 σ ^{2}}$ , $b = \frac{m}{2ℏ t}$ とおくと指数は $- (a - ib) y^{2} - 2 ib x y + ib x^{2}$ 。積分後の指数は $\frac{iab}{a - ib} x^{2}$ になる。

ヒント 3

$∣ ψ ∣^{2} \propto exp (- \frac{2 a b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} x^{2})$ から $⟨ x^{2} ⟩ = σ^{2} [1 + (\frac{ℏ t}{2 m σ ^{2}})^{2}]$ 。これが $2 σ^{2}$ になる $t$ を求める。

答えと解説

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\frac{2 m σ ^{2}}{ℏ}

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解説を読む

方針: 伝播関数と初期波束の積を $y$ についてガウス積分し、 $∣ ψ (x, t) ∣^{2}$ のガウス型の幅を読み取る。

1. 指数部分をまとめる

$a = \frac{1}{4 σ ^{2}}$ , $b = \frac{m}{2ℏ t}$ とおくと、被積分関数の指数は
$- a y^{2} + ib (x - y)^{2} = - (a - ib) y^{2} - 2 ib x y + ib x^{2} .$

2. ガウス積分

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- α y^{2} - β y} d y = \frac{π}{α} e^{β^{2} / (4 α)}$ （ $Re α > 0$ ）を $α = a - ib$ , $β = 2 ib x$ で使うと、指数部分は
$ib x^{2} + \frac{( 2 ib x ) ^{2}}{4 ( a - ib )} = ib x^{2} - \frac{b ^{2} x ^{2}}{a - ib} = \frac{ib ( a - ib ) - b ^{2}}{a - ib} x^{2} = \frac{iab}{a - ib} x^{2} .$
よって $ψ (x, t) = C (t) exp (\frac{iab}{a - ib} x^{2})$ （ $C (t)$ は $x$ によらない）。

3. 確率密度の幅

$\frac{iab}{a - ib} = \frac{iab ( a + ib )}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{- a b ^{2} + i a ^{2} b}{a ^{2} + b ^{2}}$
なので
$∣ ψ (x, t) ∣^{2} \propto exp (- \frac{2 a b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} x^{2}) .$
これを $exp (- \frac{x ^{2}}{2 σ _{t}^{2}})$ と比べると
$σ_{t}^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{4 a b ^{2}} = \frac{1}{4 a} (1 + \frac{a ^{2}}{b ^{2}}) = σ^{2} [1 + (\frac{ℏ t}{2 m σ ^{2}})^{2}]$
（ $\frac{a}{b} = \frac{1}{4 σ ^{2}} \cdot \frac{2ℏ t}{m} = \frac{ℏ t}{2 m σ ^{2}}$ ）。 $∣ ψ ∣^{2}$ は $x = 0$ について対称なので $⟨ x ⟩ = 0$ で、 $⟨ x^{2} ⟩ = σ_{t}^{2}$ 。

4. 時刻を求める

$σ_{t}^{2} = 2 σ^{2}$ より $(\frac{ℏ t}{2 m σ ^{2}})^{2} = 1$ 。 $t > 0$ なので
$t = \frac{2 m σ ^{2}}{ℏ} .$
$σ_{t}^{2}$ は $t > 0$ で単調に増加するので、これが初めて $2 σ^{2}$ になる時刻である。

別解

ガウス積分で $ψ (x, t) \propto exp [- \frac{x ^{2}}{4 σ ^{2} ( 1 + i ℏ t /2 m σ ^{2} )}]$ となり、確率密度は幅 $σ (t)$ のガウス分布で $σ (t)^{2} = σ^{2} (1 + \frac{ℏ ^{2} t ^{2}}{4 m ^{2} σ ^{4}})$ （ $⟨ x ⟩ = 0$ なので $⟨ x^{2} ⟩ = σ (t)^{2}$ ）。 $⟨ x^{2} ⟩ = 2 σ^{2}$ とおくと $\frac{ℏ ^{2} t ^{2}}{4 m ^{2} σ ^{4}} = 1$ 、 $t > 0$ で $t = \frac{2 m σ ^{2}}{ℏ}$ 。検算: $⟨ x^{2} ⟩ = σ^{2} + \frac{⟨ p ^{2} ⟩ t ^{2}}{m ^{2}}$ （自由粒子で $⟨ x p + p x ⟩ = 0$ ）、 $⟨ p^{2} ⟩ = \frac{ℏ ^{2}}{4 σ ^{2}}$ より $σ^{2} + \frac{ℏ ^{2} t ^{2}}{4 m ^{2} σ ^{2}}$ で、 $t = \frac{2 m σ ^{2}}{ℏ}$ のとき $σ^{2} + σ^{2} = 2 σ^{2}$ と一致する。

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