経路積分と自由粒子の伝播関数

伝播関数 $K (x_{b}, t_{b}; x_{a}, t_{a}) = ⟨ x_{b} ∣ e^{- i H (t_{b} - t_{a}) /ℏ} ∣ x_{a} ⟩$ を時間の分割とガウス積分で経路積分に書き、古典作用 $S_{cl}$ を求めて自由粒子の $K = \frac{m}{2 π i ℏ T} e^{im (x_{b} - x_{a})^{2} /2ℏ T}$ を導き、ガウス型の初期波束の時間発展を求められる

前提

定常状態の重ね合わせと時間発展（大学物理量子力学（1 次元の問題））
ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式（大学物理解析力学）
ガウス積分（大学数学微分積分）

この技能までの道筋（137 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）
無限に深い井戸型ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
三角関数の積分（数学III 積分法）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
正弦級数・余弦級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
固有関数による展開と測定確率（大学物理量子力学（1 次元の問題））
定常状態の重ね合わせと時間発展（大学物理量子力学（1 次元の問題））
力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
力のモーメント（高校物理力と運動）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
慣性モーメントの計算（大学物理力学（質点・剛体））
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）
極座標（数学C 平面上の曲線）
極座標での運動方程式（大学物理力学（質点・剛体））
角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
固定軸のまわりの回転と転がり運動（大学物理力学（質点・剛体））
ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式（大学物理解析力学）
ガウス積分（大学数学微分積分）

説明

伝播関数 $K (x_{b}, t_{b}; x_{a}, t_{a}) = ⟨ x_{b} ∣ e^{- i H (t_{b} - t_{a}) /ℏ} ∣ x_{a} ⟩$ は「時刻 $t_{a}$ に点 $x_{a}$ にいた粒子が、時刻 $t_{b}$ に点 $x_{b}$ に見いだされる確率振幅」で、これがわかれば任意の初期波動関数の時間発展が $ψ (x, t_{b}) = \int K (x, t_{b}; y, t_{a}) ψ (y, t_{a}) d y$ という 1 回の積分で求まります。経路積分は、この $K$ を「始点と終点を結ぶあらゆる経路について $e^{i S /ℏ}$ （ $S$ は作用）を足し合わせたもの」と表す見方です。自由粒子では、時間を細かく分けてガウス積分を繰り返すと $K = \frac{m}{2 π i ℏ T} e^{im (x_{b} - x_{a})^{2} /2ℏ T}$ が厳密に求まり、指数の中身は古典的な等速直線運動の作用 $S_{cl}$ そのものになります。これを使うと、ガウス型波束が時間とともに広がる様子などを、固有関数展開なしに直接計算できます。

なぜそうしてよいのか

$T = t_{b} - t_{a}$ を $N$ 等分して $ε = T / N$ とし、 $e^{- i H T /ℏ} = (e^{- i H ε /ℏ})^{N}$ の間に位置の完全系 $\int ∣ x_{k} ⟩ ⟨ x_{k} ∣ d x_{k} = 1$ を $N - 1$ 回はさむと
$K = \int d x_{1} \dots d x_{N - 1} k = 0 \prod N - 1 ⟨ x_{k + 1} ∣ e^{- i H ε /ℏ} ∣ x_{k} ⟩ (x_{0} = x_{a}, x_{N} = x_{b})$
となります。自由粒子 $H = \frac{p ^{2}}{2 m}$ では、各因子を運動量の固有状態 $⟨ x ∣ p ⟩ = \frac{e ^{i p x /ℏ}}{2 π ℏ}$ で展開すると
$⟨ x_{k + 1} ∣ e^{- i H ε /ℏ} ∣ x_{k} ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d p}{2 π ℏ} e^{i p (x_{k + 1} - x_{k}) /ℏ - i ε p^{2} /2 m ℏ} = \frac{m}{2 π i ℏ ε} exp [\frac{i}{ℏ} ε \frac{m}{2} (\frac{x _{k + 1} - x _{k}}{ε})^{2}]$
です。ここで使ったのは平方完成とガウス積分 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- α y^{2} + β y} d y = \frac{π}{α} e^{β^{2} /4 α}$ で、係数 $α$ が純虚数のときは $α$ にわずかな正の実部を足して計算し、最後に 0 に近づけたものと約束します（は $Re α > 0$ から連続につないだ枝をとる）。指数を全部集めると $\frac{i}{ℏ} \sum_{k} ε \frac{m}{2} (\frac{x _{k + 1} - x _{k}}{ε})^{2} \to \frac{i}{ℏ} \int L d t = \frac{i}{ℏ} S [x]$ となるので、 $K$ は「全経路にわたる $e^{i S [x] /ℏ}$ の和」と読めます。

自由粒子では中間の積分も実行できます。時間 $ε_{1}$ と $ε_{2}$ の 2 つの因子を中間点 $x_{1}$ で積分すると、指数が $x_{1}$ の 2 次式なので再びガウス積分ができ、時間 $ε_{1} + ε_{2}$ の同じ形の因子になります。これを繰り返せば
$K (x_{b}, t_{b}; x_{a}, t_{a}) = \frac{m}{2 π i ℏ T} exp \frac{im ( x _{b} - x _{a} ) ^{2}}{2ℏ T} .$
一方、オイラー・ラグランジュ方程式 $m x ¨ = 0$ を両端の条件で解くと古典経路は等速直線運動 $x ˙ = \frac{x _{b} - x _{a}}{T}$ で、その作用は $S_{cl} = \int_{t_{a}}^{t_{b}} \frac{m}{2} x ˙^{2} d t = \frac{m}{2} (\frac{x _{b} - x _{a}}{T})^{2} T = \frac{m ( x _{b} - x _{a} ) ^{2}}{2 T}$ です。つまり $K = \frac{m}{2 π i ℏ T} e^{i S_{cl} /ℏ}$ と、古典経路の作用で書けます（作用が 2 次式のときは、経路を $x = x_{cl} + η$ （ $η$ は両端で 0）と分けると作用が $S_{cl} + S [η]$ に分かれ、 $η$ についての積分が端点によらない因子になるためです）。

手順

ラグランジアン $L = \frac{1}{2} m x ˙^{2}$ からオイラー・ラグランジュ方程式 $m x ¨ = 0$ を両端 $x (t_{a}) = x_{a}$ 、 $x (t_{b}) = x_{b}$ の条件で解き、古典経路 $x_{cl} (t) = x_{a} + \frac{x _{b} - x _{a}}{T} (t - t_{a})$ を求める
古典作用 $S_{cl} = \int_{t_{a}}^{t_{b}} L d t = \frac{m ( x _{b} - x _{a} ) ^{2}}{2 T}$ （ $T = t_{b} - t_{a}$ ）を計算する
伝播関数 $K = \frac{m}{2 π i ℏ T} e^{i S_{cl} /ℏ}$ を書く
初期波動関数との積分 $ψ (x, t) = \int_{- \infty}^{\infty} K (x, t; y, 0) ψ (y, 0) d y$ を立て、指数を $y$ について平方完成してガウス積分 $\int e^{- α y^{2} + β y} d y = π / α e^{β^{2} /4 α}$ （ $Re α > 0$ ）を使う
$∣ ψ (x, t) ∣^{2}$ を作り、指数の実部から確率分布の幅や中心を読み取る

例題

質量 $m$ の自由粒子（1 次元）の時刻 $t = 0$ の波動関数が
$ψ (x, 0) = (2 π σ^{2})^{- 1/4} exp (- \frac{x ^{2}}{4 σ ^{2}}) (σ > 0)$
で与えられている。自由粒子の伝播関数 $K (x, t; y, 0) = \frac{m}{2 π i ℏ t} exp \frac{im ( x - y ) ^{2}}{2ℏ t}$ を用いて時刻 $t > 0$ の波動関数を求め、確率密度 $∣ ψ (x, t) ∣^{2}$ の標準偏差（位置の広がり） $σ (t)$ を $σ, ℏ, m, t$ で表せ。（ $t = 0$ の確率密度 $∣ ψ (x, 0) ∣^{2} \propto e^{- x^{2} /2 σ^{2}}$ の標準偏差は $σ$ である。）

例題の解答

手順 1〜3：自由粒子の古典経路は等速直線で $S_{cl} = \frac{m ( x - y ) ^{2}}{2 t}$ 、伝播関数は問題で与えられた形になる。

手順 4： $a = \frac{1}{4 σ ^{2}}$ 、 $b = \frac{m}{2ℏ t}$ とおくと
$ψ (x, t) = \frac{m}{2 π i ℏ t} (2 π σ^{2})^{- 1/4} \int_{- \infty}^{\infty} exp [- a y^{2} + ib (x - y)^{2}] d y .$
指数は $- (a - ib) y^{2} - 2 ib x y + ib x^{2}$ で、 $α = a - ib$ （ $Re α = a > 0$ ）、 $β = - 2 ib x$ のガウス積分だから
$\int (\dots) d y = \frac{π}{a - ib} exp [\frac{( - 2 ib x ) ^{2}}{4 ( a - ib )} + ib x^{2}] = \frac{π}{a - ib} exp [\frac{iab}{a - ib} x^{2}] .$
（ $\frac{- b ^{2}}{a - ib} + ib = \frac{- b ^{2} + iab + b ^{2}}{a - ib} = \frac{iab}{a - ib}$ 。）

手順 5：指数の実部は $Re \frac{iab ( a + ib )}{a ^{2} + b ^{2}} x^{2} = - \frac{a b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} x^{2}$ なので
$∣ ψ (x, t) ∣^{2} \propto exp (- \frac{2 a b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} x^{2}) .$
これを $e^{- x^{2} /2 σ (t)^{2}}$ と比べると
$σ (t)^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{4 a b ^{2}} = \frac{1}{4 a} (1 + \frac{a ^{2}}{b ^{2}}) = σ^{2} [1 + (\frac{ℏ t}{2 m σ ^{2}})^{2}] .$
（ $\frac{1}{4 a} = σ^{2}$ 、 $\frac{a}{b} = \frac{1}{4 σ ^{2}} \cdot \frac{2ℏ t}{m} = \frac{ℏ t}{2 m σ ^{2}}$ 。）

よって $σ (t) = σ 1 + \frac{ℏ ^{2} t ^{2}}{4 m ^{2} σ ^{4}}$ 。はじめに狭い波束ほど速く広がる。

答え: $σ 1 + \frac{ℏ ^{2} t ^{2}}{4 m ^{2} σ ^{4}}$

よくある誤り

伝播関数の前の因子を $\frac{m}{2 π ℏ T}$ と $i$ を落としたり、 $\frac{2 π i ℏ T}{m}$ と逆数にしたりする誤り。短い時間の因子の運動量積分 $\int \frac{d p}{2 π ℏ} e^{- i ε p^{2} /2 m ℏ} = \frac{1}{2 π ℏ} \frac{2 π m ℏ}{i ε}$ から、正しくは $\frac{m}{2 π i ℏ T}$ 。この因子があるので $T \to 0$ で $K \to δ (x_{b} - x_{a})$ となる。
作用を運動量×距離として $p (x_{b} - x_{a}) = m \frac{x _{b} - x _{a}}{T} (x_{b} - x_{a}) = \frac{m ( x _{b} - x _{a} ) ^{2}}{T}$ としてしまう誤り（ $S_{cl}$ の 2 倍になる）。作用はラグランジアン $L = T - V$ の時間積分で、自由粒子では $S_{cl} = \int_{t_{a}}^{t_{b}} \frac{1}{2} m x ˙^{2} d t = \frac{1}{2} m v^{2} T = \frac{m ( x _{b} - x _{a} ) ^{2}}{2 T}$ （ $v = \frac{x _{b} - x _{a}}{T}$ ）。
複素係数のガウス積分で $α = a - ib$ を実数 $a$ に置き換えたり、 $\frac{β ^{2}}{4 α}$ の $β^{2}$ で $i^{2} = - 1$ を忘れたりする誤り。正しくは $\int e^{- α y^{2} + β y} d y = \frac{π}{α} e^{β^{2} /4 α}$ （ $Re α > 0$ ）を複素数のまま使い、上の例では $β^{2} = (- 2 ib x)^{2} = - 4 b^{2} x^{2}$ 。
波束の幅が $σ (t) = σ + \frac{ℏ t}{2 mσ}$ のように時間に比例して足し算で増えるとしてしまう誤り。正しくは 2 乗で足し合わさり $σ (t)^{2} = σ^{2} + (\frac{ℏ t}{2 mσ})^{2}$ 。 $t ≫ \frac{2 m σ ^{2}}{ℏ}$ で初めて $σ (t) \approx \frac{ℏ t}{2 mσ}$ と時間に比例する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
1 次元の自由粒子（質量 $m$ ）の伝播関数は
$K (x, t; y, 0) = \frac{m}{2 π i ℏ t} exp [\frac{im ( x - y ) ^{2}}{2ℏ t}] (t > 0)$
である。時刻 $t = 0$ の波動関数が
$ψ (x, 0) = (2 π σ^{2})^{- 1/4} exp (- \frac{x ^{2}}{4 σ ^{2}}) (σ > 0)$
のとき、 $ψ (x, t) = \int_{- \infty}^{\infty} K (x, t; y, 0) ψ (y, 0) d y$ で時間発展させる。
位置の分散 $⟨ x^{2} ⟩$ は $t = 0$ で $σ^{2}$ である。 $⟨ x^{2} ⟩$ が初めて $2 σ^{2}$ になる時刻 $t (> 0)$ を $m, σ, ℏ$ を用いて表せ。

この技能の次に学べること

調和振動子の伝播関数（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））