固有関数による展開と測定確率

状態をエネルギー固有関数で $ψ = \sum c_{n} φ_{n}$ と展開し、 $c_{n} = \int φ_{n}^{*} ψ d x$ から各エネルギーが測定される確率 $∣ c_{n} ∣^{2}$ やエネルギーの期待値を求められる

前提

無限に深い井戸型ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
正弦級数・余弦級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

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算数中学高校大学大学院

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正弦級数・余弦級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

説明

ある粒子の状態 $ψ (x)$ が、エネルギー固有関数（たとえば無限に深い井戸の $φ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}$ ）の重ね合わせ $ψ = \sum_{n} c_{n} φ_{n}$ として書けるとき、エネルギーを測定すると値 $E_{n}$ が得られる確率は $∣ c_{n} ∣^{2}$ になります。この技能では、展開係数を積分 $c_{n} = \int φ_{n}^{*} ψ d x$ で求め、各エネルギーの測定確率とエネルギーの期待値 $⟨ E ⟩ = \sum_{n} ∣ c_{n} ∣^{2} E_{n}$ を計算できるようになります。固有状態でない初期状態を与えられたとき、何がどれだけの確率で測定されるかを調べる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

エネルギー固有関数は、規格化されていて互いに直交する、つまり $\int φ_{m}^{*} φ_{n} d x = δ_{mn}$ （ $m = n$ なら 1、 $m \neq = n$ なら 0）を満たします。井戸の場合なら $\frac{2}{L} \int_{0}^{L} sin \frac{mπ x}{L} sin \frac{nπ x}{L} d x$ を積和の公式で計算すれば確かめられ、これは正弦級数の係数を求めるときと同じ仕組みです。そこで $ψ = \sum_{m} c_{m} φ_{m}$ の両辺に $φ_{n}^{*}$ を掛けて積分すると、 $m = n$ の項だけが残って $\int φ_{n}^{*} ψ d x = c_{n}$ が得られます。

同じ直交性から、 $\int ∣ ψ ∣^{2} d x = n \sum ∣ c_{n} ∣^{2}$ となります。 $ψ$ が規格化されていれば左辺は 1 なので、 $∣ c_{n} ∣^{2}$ は 0 以上で合計が 1 になる数の組です。量子力学では、エネルギーを測定すると必ず固有値 $E_{n}$ のどれかが得られ、 $E_{n}$ が得られる確率が $∣ c_{n} ∣^{2}$ である、と解釈します（エネルギーが縮退していないとき。縮退していれば同じ $E$ を持つ $n$ について $∣ c_{n} ∣^{2}$ を足します）。

エネルギーの期待値は、ハミルトニアン $H^$ を使って $⟨ E ⟩ = \int ψ^{*} H^ψ d x$ ですが、 $H^φ_{n} = E_{n} φ_{n}$ と直交性を使うと $⟨ E ⟩ = \sum_{n} ∣ c_{n} ∣^{2} E_{n}$ となり、「値 × 確率」の和という確率の平均そのものの形になります。

手順

$ψ$ が規格化されているか確かめる。されていなければ $\int ∣ ψ ∣^{2} d x = 1$ となるように規格化する
規格化されたエネルギー固有関数 $φ_{n}$ と固有値 $E_{n}$ を書く（井戸なら $φ_{n} = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}$ 、 $E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$ ）
係数 $c_{n} = \int φ_{n}^{*} ψ d x$ を計算する。 $ψ$ が三角関数の積なら、積和の公式で $φ_{n}$ の和に直して係数を読み取ってもよい
エネルギー $E_{n}$ が測定される確率を $∣ c_{n} ∣^{2}$ として求め、 $\sum_{n} ∣ c_{n} ∣^{2} = 1$ を確認する
必要なら期待値 $⟨ E ⟩ = \sum_{n} ∣ c_{n} ∣^{2} E_{n}$ を計算する

例題

$0 \leq x \leq L$ に閉じ込められた無限に深い井戸型ポテンシャル中の粒子（質量 $m$ ）の状態が、 $0 \leq x \leq L$ で
$ψ (x) = \frac{8}{5 L} (1 + cos \frac{π x}{L}) sin \frac{π x}{L}$
（それ以外で $ψ = 0$ ）で与えられている。この状態でエネルギーを測定したとき、基底状態のエネルギー $E_{1} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$ が得られる確率を求めよ。

例題の解答

手順 1： $ψ$ が規格化されていることは、手順 4 で $\sum ∣ c_{n} ∣^{2} = 1$ となることで確かめる。

手順 2：規格化された固有関数は $φ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}$ 、固有値は $E_{n} = n^{2} E_{1}$ 。

手順 3： $c_{1} = \int_{0}^{L} φ_{1} ψ d x$ を計算する（関数はすべて実数）。
$c_{1} = \frac{2}{L} \frac{8}{5 L} \int_{0}^{L} (sin^{2} \frac{π x}{L} + sin^{2} \frac{π x}{L} cos \frac{π x}{L}) d x$
係数は $\frac{16}{5 L ^{2}} = \frac{4}{5 L}$ 。 $\int_{0}^{L} sin^{2} \frac{π x}{L} d x = \frac{L}{2}$ 、 $\int_{0}^{L} sin^{2} \frac{π x}{L} cos \frac{π x}{L} d x = [\frac{L}{3 π} sin^{3} \frac{π x}{L}]_{0}^{L} = 0$ なので
$c_{1} = \frac{4}{5 L} \cdot \frac{L}{2} = \frac{2}{5}$
（確認： $sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ$ より $ψ = \frac{8}{5 L} (sin \frac{π x}{L} + \frac{1}{2} sin \frac{2 π x}{L}) = \frac{2}{5} φ_{1} + \frac{1}{5} φ_{2}$ で、 $c_{1} = \frac{2}{5}$ , $c_{2} = \frac{1}{5}$ 、ほかは 0。）

手順 4： $E_{1}$ が得られる確率は $∣ c_{1} ∣^{2} = \frac{4}{5}$ 。 $∣ c_{1} ∣^{2} + ∣ c_{2} ∣^{2} = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1$ なので $ψ$ は規格化されていた。

手順 5（参考）：期待値は $⟨ E ⟩ = \frac{4}{5} E_{1} + \frac{1}{5} \cdot 4 E_{1} = \frac{8}{5} E_{1}$ 。

答え: $\frac{4}{5}$

よくある誤り

係数 $c_{n}$ そのものを確率としてしまう誤り。正しくは確率は $∣ c_{n} ∣^{2}$ 。上の例で $c_{1} = \frac{2}{5} \approx 0.894$ を確率とするのは誤りで、確率は $\frac{4}{5}$
規格化していない固有関数 $sin \frac{nπ x}{L}$ で $c_{n} = \int_{0}^{L} sin \frac{nπ x}{L} ψ d x$ を計算してしまう誤り。正しくは規格化した $φ_{n} = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}$ を使う。そうしないと $\sum ∣ c_{n} ∣^{2} \neq = 1$ になる
$ψ$ が規格化されていないのに $∣ c_{n} ∣^{2}$ をそのまま確率とする誤り。たとえば $ψ = φ_{1} + φ_{2}$ なら確率は 1 ずつではなく、 $\sum ∣ c_{n} ∣^{2} = 2$ で割って $\frac{1}{2}$ ずつ
期待値を $⟨ E ⟩ = \sum c_{n} E_{n}$ や $\sum E_{n}$ の平均としてしまう誤り。正しくは確率で重みをつけた $⟨ E ⟩ = \sum ∣ c_{n} ∣^{2} E_{n}$ 。上の例では $\frac{E _{1} + E _{2}}{2} = \frac{5}{2} E_{1}$ ではなく $\frac{8}{5} E_{1}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m$ の粒子が、 $0 \leq x \leq L$ で $V = 0$ 、それ以外で $V = \infty$ の 1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャルの中にある。この井戸の規格化されたエネルギー固有関数は
$φ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L} (n = 1, 2, 3, \dots)$
で、エネルギー固有値は $E_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$ である。
ある時刻に粒子の波動関数が
$ψ (x) = A sin^{3} \frac{π x}{L} (0 \leq x \leq L)$
（井戸の外では $ψ = 0$ ）であるとする。ここで $A$ は $\int_{0}^{L} ∣ ψ ∣^{2} d x = 1$ を満たす正の定数である。
この時刻にエネルギーを測定したとき、基底状態のエネルギー $E_{1}$ が得られる確率を既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

定常状態の重ね合わせと時間発展（大学物理量子力学（1 次元の問題））