量子力学（1 次元の問題）の問題

幅 $L$ の井戸のエネルギー固有関数と固有値は
$${\phi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L},E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}(n=1,2,3,\dots )$$
である。${\psi }_0={\sum }_n{c}_n{\phi }_n$（$c_n={\int }_0^L{\phi }_n{\psi }_{0}dx$ は実数）と展開すると、ハミルトニアンが時間によらないので各定常状態は位相因子 $e^{-i{E}_{n}t/\hslash }$ を得るだけで、
$$\psi (x,t)=\sum _n{c}_n{\phi }_n(x)e^{-i{E}_{n}t/\hslash }$$
となる。

位相の計算 $t=t_1$ では
$$\frac{E_n{t}_1}{\hslash }=\frac{n^2{\pi }^2\hslash }{2m{L}^2}\cdot \frac{m{L}^2}{\pi \hslash }=\frac{n^2\pi }{2}.$$
$n$ が偶数なら $n^2=4j^2$ で $e^{-i{n}^2\pi /2}=e^{-2\pi i{j}^2}=1$、$n$ が奇数なら $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ なので $e^{-i{n}^2\pi /2}=e^{-i\pi /2}=-i$。よって
$$\psi (x,t_1)=\sum _{n\text{偶}}{c}_n{\phi }_n-i\sum _{n\text{奇}}{c}_n{\phi }_n\equiv {\psi }_A-i{\psi }_S.$$

鏡映対称性 井戸の中心についての反転 $(Rf)(x)=f(L-x)$ に対し
$${\phi }_n(L-x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(n\pi -\frac{n\pi x}{L}\right)=(-1{)}^{n+1}{\phi }_n(x)$$
なので、奇数 $n$ は対称、偶数 $n$ は反対称である。したがって
$${\psi }_S=\frac{{\psi }_0+R{\psi }_0}{2},{\psi }_A=\frac{{\psi }_0-R{\psi }_0}{2}.$$

確率振幅 $⟨{\psi }_0|{\psi }_S⟩={\sum }_{\text{奇}}{c}_n^2\equiv P_S$、$⟨{\psi }_0|{\psi }_A⟩={\sum }_{\text{偶}}{c}_n^2\equiv P_A$ より
$$⟨{\psi }_0|\psi (t_1)⟩=P_A-i{P}_S,P=P_A^2+P_S^2.$$
$r={\int }_0^L{\psi }_0(x){\psi }_0(L-x)dx$ とおくと、${\psi }_0$ が規格化されているので
$$P_S=\Vert {\psi }_S{\Vert }^2=\frac{1+1+2r}{4}=\frac{1+r}{2},P_A=\frac{1-r}{2}.$$
よって
$$P=\frac{(1+r{)}^2+(1-r{)}^2}{4}=\frac{1+r^2}{2}.$$

重なり積分 $r$ ${\psi }_0(x)$ は $0<x<\frac{2L}{3}$、${\psi }_0(L-x)$ は $\frac{L}{3}<x<L$ で 0 でないので、積分区間は $\frac{L}{3}<x<\frac{2L}{3}$。$\theta =\frac{3\pi x}{2L}$ とおくと ${\psi }_0(L-x)=\sqrt{\frac{3}{L}}\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\theta \right)=-\sqrt{\frac{3}{L}}\cos \theta$、$dx=\frac{2L}{3\pi }d\theta$、$\theta$ は $\frac{\pi }{2}$ から $\pi$ まで動く。
$$r=-\frac{3}{L}\cdot \frac{2L}{3\pi }{\int }_{\pi /2}^{\pi }\sin \theta \cos \theta d\theta =-\frac{2}{\pi }{\left[\frac{{\sin }^2\theta }{2}\right]}_{\pi /2}^{\pi }=-\frac{2}{\pi }\left(0-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{\pi }.$$

答え
$$P=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{{\pi }^2}\right)=\frac{{\pi }^2+1}{2{\pi }^2}(\approx 0.551).$$

井戸の幅 $L$ の固有関数は ${\phi }_n(x)=\sqrt{2/L}\sin (n\pi x/L)$、エネルギーは $E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$ である。

展開係数を $c_n={\int }_0^{2L/3}{\psi }_0{\phi }_{n}dx$ とおく。
${\int }_0^{2L/3}\sin \frac{3\pi x}{2L}\sin \frac{n\pi x}{L}dx=\frac{6L\sin (2n\pi /3)}{\pi (9-4n^2)}$ なので、
$c_n=\frac{6\sqrt{6}\sin (2n\pi /3)}{\pi (9-4n^2)}$ となる。

時刻 $t_1=m{L}^2/(\pi \hslash )$ での位相は $E_n{t}_1/\hslash =n^2\pi /2$ である。
- $n$ が偶数のとき、位相因子 $e^{-i{n}^2\pi /2}=1$。
- $n$ が奇数のとき、$n^2\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ より $e^{-i{n}^2\pi /2}=e^{-i\pi /2}=-i$。

$S_e={\sum }_{n\text{偶}}|c_n{|}^2$、$S_o={\sum }_{n\text{奇}}|c_n{|}^2$ とおく。規格化されているので $S_e+S_o=1$ である。
重なりは $\int {\psi }_0^{\ast }\psi (x,t_1)dx=\sum |c_n{|}^2{e}^{-i{E}_n{t}_1/\hslash }=S_e-i{S}_o$ となり、$P=S_e^2+S_o^2$ である。

$S_o-S_e$ を求める。${\phi }_n(L-x)=(-1{)}^{n+1}{\phi }_n(x)$ より、
$S_o-S_e=\sum (-1{)}^{n+1}{c}_n^2=\int {\psi }_0(x){\psi }_0(L-x)dx$ である。
この積分の区間は $L/3<x<2L/3$ で、そこでは ${\psi }_0(L-x)=-\sqrt{3/L}\cos \frac{3\pi x}{2L}$ となる。したがって
${\int }_{L/3}^{2L/3}\frac{3}{L}\left(-\sin u\cos u\right)dx=-\frac{3}{2L}{\int }_{L/3}^{2L/3}\sin \frac{3\pi x}{L}dx=-\frac{3}{2L}\left(-\frac{2L}{3\pi }\right)=\frac{1}{\pi }$ である（$u=3\pi x/2L$）。

よって $S_o=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\pi }\right)$、$S_e=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\pi }\right)$ となる。

$P=S_e^2+S_o^2=\frac{1}{4}\left[{\left(1-\frac{1}{\pi }\right)}^2+{\left(1+\frac{1}{\pi }\right)}^2\right]=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{{\pi }^2}\right)=\frac{{\pi }^2+1}{2{\pi }^2}$。

検算：$|c_2{|}^2=162/(49{\pi }^2)\approx 0.335$、$|c_4{|}^2\approx 0.0054$ なので $S_e\approx 0.340$ となり、$S_e=(1-1/\pi )/2\approx 0.341$ とほぼ一致する。