ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できる、半径 $R$、中心軸のまわりの慣性モーメント $I=m{R}^2$ の定滑車がある。滑車に質量の無視できる伸びない糸をかけ、糸の両端に質量 $3m$ のおもり A と質量 $m$ のおもり B をつるす。糸は滑車に対してすべらず、おもりは鉛直方向にだけ動くとする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

おもり A の鉛直下向きの変位 $x$ を一般化座標としてラグランジアン $L=T-V$ をつくり、オイラー・ラグランジュ方程式を用いて、おもり A の下向きの加速度 $\ddot{x}$ を $g$ を用いて表せ。

なめらかな水平な直線上に、左から順に固定された壁、質量 $m$ の質点 1、質量 $2m$ の質点 2、固定された壁が並んでいる。左の壁と質点 1、質点 1 と質点 2、質点 2 と右の壁は、それぞればね定数 $k$ の軽いばねでつながれている。つり合いの状態では 3 本のばねはいずれも自然長である。質点は直線に沿ってのみ運動し、摩擦と空気抵抗は無視する。

つり合いの位置からの質点 1, 2 の変位を $x_1,x_2$（右向きを正）として、ラグランジュ形式でこの系の基準振動を求める。2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とするとき、比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できる、質量 $2m$、半径 $R$ の一様な円板の滑車がある（軸のまわりの慣性モーメントは $\frac{1}{2}(2m)R^2=m{R}^2$）。滑車には軽くて伸びない糸がかけられ、糸の一端に質量 $m$ のおもり A、他端に質量 $3m$ のおもり B がつり下げられている。糸は滑車に対してすべらず、A と B はそれぞれ鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

B の鉛直下向きの変位 $x$ を一般化座標としてラグランジアンを書き、オイラー・ラグランジュ方程式から B の加速度 $\ddot{x}$ を求めよ。答えは $g$ を用いて表せ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できる、質量 $M$、半径 $R$ の一様な円板の滑車がある。滑車に軽くて伸び縮みしない糸をかけ、糸の一端に質量 $2m$ のおもり A を、他端に質量 $m$ のおもり B をつるす。糸は滑車に対して滑らず、おもりは鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。円板の中心軸まわりの慣性モーメントは $\frac{1}{2}M{R}^2$ である。

おもり A の鉛直下向きの変位 $x$ を一般化座標としてラグランジアンを書き、オイラー・ラグランジュ方程式から、おもり A の加速度の大きさを $m,M,g$ を用いて表せ。

なめらかな水平な台の中央に小さな穴があいている。長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸を穴に通し、台の上側の端に質量 $m$ の小球 P を、台の下側の端に質量 $M$ のおもり Q をつなぐ。P は台の上をなめらかに動き、Q は穴の真下で鉛直方向にだけ動く。穴を原点とする台の上の極座標を $(r,\phi )$ とし、P の位置を表す。糸は常にたるまず、$0<r<l$ の範囲で運動するものとする。

ある時刻に、$r=a$、$\dot{r}=0$、$\dot{\phi }=\Omega$ であった（$a,\Omega$ は正の定数で $a<l$）。この瞬間の $\ddot{r}$ を、$m,M,g,a,\Omega$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗や糸と穴の間の摩擦は無視する。

同じ高さにある 2 つの固定点 O${}_1$, O${}_2$ から、長さ $l$ の軽くて変形しない棒の先に質量 $m$ の小球をつけた振り子をそれぞれつるす。2 つの振り子は同じ鉛直面内で振れ、支点はなめらかである。2 本の棒のそれぞれの中点（支点から距離 $\frac{l}{2}$ の点）どうしを、ばね定数 $k$ の軽いばねでつなぐ。O${}_1$O${}_2$ 間の距離はばねの自然長に等しく、2 本の棒が鉛直のときばねは水平で自然長である。

棒が鉛直下向きとなす角をそれぞれ ${\theta }_1,{\theta }_2$（同じ向きを正とする）として、つり合いの位置のまわりの微小振動を考える。2 つの基準振動の角振動数のうち、大きいほうを $m,g,l,k$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。微小振動では、ばねの伸びは 2 つの中点の水平方向の変位の差で近似してよい。

なめらかな水平な直線上に、左から順に質量 $m$ の質点 1、質量 $2m$ の質点 2、質量 $m$ の質点 3 が並んでいる。質点 1 と質点 2、質点 2 と質点 3 は、それぞればね定数 $k$ の軽いばねでつながれており、壁などには固定されていない。質点は直線に沿ってだけ動き、摩擦や空気抵抗は無視する。

各質点のつり合いの位置（ばねが自然長の位置）からの変位を $x_1$, $x_2$, $x_3$ とし、ラグランジアンから運動方程式を導いて基準振動を求める。基準振動の角振動数のうち $0$ でないものを、小さい方、大きい方の順に組で、$k$ と $m$ を用いて表せ。

なめらかな水平な台の上に、質量 $m$ の小物体 P が置かれている。台には小さな穴 O があいていて、P につけた軽くて伸び縮みしない糸が O を通って台の下に垂れ下がり、その先に質量 $M$ のおもり Q がつるされている。Q は鉛直方向にだけ動き、糸は常にたるまないものとする。台面上で O を原点とする極座標 $(r,\theta )$ を用いて P の位置を表し、重力加速度の大きさを $g$ とする。糸と穴の間の摩擦、空気抵抗、P と Q の大きさは無視する。

P が O を中心とする半径 $r_0(>0)$ の等速円運動をしているときに、P をわずかに動径方向へ乱した。このとき、角運動量を保ったまま $r$ は $r_0$ のまわりで微小振動する。ラグランジアンを立ててオイラー・ラグランジュ方程式を導き、この微小振動の角振動数を $M,m,g,r_0$ を用いて求めよ。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ のくさび（三角柱）が置かれている。くさびの斜面は水平面と角 $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$ をなし、なめらかである。斜面上に質量 $m$ の小物体を置き、くさびと小物体を同時に静かに放した。くさびは床の上を水平方向にだけ動き、回転や浮き上がりはしない。小物体は斜面から離れずに斜面に沿って滑り下りる。重力加速度の大きさを $g$ とする。

くさびの水平位置 $X$ と、斜面に沿って測った小物体の（くさびに対する）変位 $s$ を一般化座標にとってラグランジアンを書き、運動方程式を導いて、小物体が斜面上を滑っている間のくさびの加速度の大きさを $M,m,g,\alpha$ を用いて表せ。

鉛直面内に固定された、なめらかで細い針金がある。水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとると、針金の形は
$$y=\frac{x^2}{2a}(a>0\text{は定数})$$
で表される。この針金に通した質量 $m$ の小さな玉を、$x=x_0(x_0>0)$ の位置で静かにはなした。

玉が最下点 $x=0$ を通過する瞬間に、針金が玉に及ぼす力（束縛力）の大きさを、$m,g,a,x_0$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。束縛力は、拘束条件 $f(x,y)=y-\frac{x^2}{2a}=0$ とラグランジュの未定乗数 $\lambda$ を用いた運動方程式から求めること。

なめらかな水平な床の上に、質量 $m$ の台車が置かれている。台車は、左側の固定された壁とばね定数 $k$ の軽いばねでつながれ、ばねの方向（水平な $x$ 方向）にだけ動く。台車には、長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸の先に質量 $m$ の小球をつけた振り子がつるされており、振り子はばねを含む鉛直面内で振れる。ばね定数は $k=\frac{mg}{l}$ である（$g$ は重力加速度の大きさ）。空気抵抗・摩擦は無視し、糸はたるまないものとする。

ばねが自然長で振り子が鉛直に垂れた状態を平衡状態とし、台車の平衡位置からの変位を $x$、振り子の糸が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。平衡状態のまわりの微小振動について、2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を小さい方で割った比を求めよ。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の平らな板が置かれている。板の上には、質量 $m$、半径 $r$ の一様な円柱（中心軸のまわりの慣性モーメントは $\frac{1}{2}m{r}^2$）が、中心軸を水平にして載っている。円柱は板の上を滑らずに転がり、板は床の上を摩擦なく動く。運動はすべて、円柱の中心軸に垂直な 1 つの鉛直面内で起こる。

はじめ全体は静止しており、時刻 $t=0$ から板に、円柱の中心軸に垂直な水平方向の一定の力 $F(F>0)$ を加え続ける。板の床に対する変位 $X$ と、円柱の中心の床に対する変位 $x$（どちらも $F$ の向きを正とする）を一般化座標として、ラグランジュの運動方程式を立てることにより、円柱の中心の床に対する加速度を、$F$, $M$, $m$ を用いて表せ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できるように、長さ $l$、質量 $8m$ の一様な細い棒の上端 O を固定軸に取り付ける（O のまわりの棒の慣性モーメントは $\frac{1}{3}(8m)l^2=\frac{8}{3}m{l}^2$）。棒の下端 A に、長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸の一端をつなぎ、糸の他端に質量 $m$ の小球をつける。棒と糸は固定軸に垂直な 1 つの鉛直面内で運動し、糸は常にたるまないものとする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球の大きさは無視できる。

鉛直下向きから測った棒の傾き角を $\theta$、糸の傾き角を $\phi$ とする。$\theta =\phi =0$ のつり合いの位置のまわりの微小振動を考えるとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を、大きい方、小さい方の順に組で求めよ。

なめらかな水平な机の面に小さな穴 O があいている。長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸を穴に通し、机の上側の端に質量 $m$ の小物体 P を、下側の端に質量 $M$ のおもり Q をつける。P は机の面上を摩擦なく運動し、Q は穴の真下で鉛直方向にだけ運動する。糸と穴の間に摩擦はなく、糸は常にたるまないものとする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

はじめ、P は O を中心とする一定の角速度 ${\omega }_0(>0)$ の等速円運動をしており、Q は静止している。この状態で P に動径方向（O から P へ向かう方向）の小さな速度を瞬間的に与えたところ、O から P までの距離 $r$ は円運動の半径のまわりで微小振動をした。

P の位置を O を原点とする極座標 $(r,\phi )$ で表し、ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式を用いて、この $r$ の微小振動の角振動数を $m,M,{\omega }_0$ を用いて表せ。

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$ の質点が、ポテンシャル
$$V(x,y)=\frac{\alpha }{x^2+y^2}(\alpha >0)$$
の中を運動する。ラグランジアンは $L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)-V(x,y)$ である。

この系の作用 $S=\int Ldt$ は、正の定数 $\lambda$ によるスケール変換
$$x\to \lambda x,y\to \lambda y,t\to {\lambda }^{2}t$$
のもとで不変である。

時刻 $t=0$ に質点は点 $(a,0)$ にあり、速度は $(-u,v)$ であった。ここで $a>0$, $u>0$, $v\ge 0$ は定数である。原点から質点までの距離が最小になる時刻 $t_{\ast }(>0)$ を、$m,\alpha ,a,u,v$ を用いて表せ。

内面がなめらかな半径 $R$ の半球形のお椀が、縁を水平にして固定されている。このお椀の中に、長さ $R$、質量 $m$ の一様な細い棒を入れると、棒の両端はお椀の内面に接したまま、お椀の中心 O（球の中心）を含む 1 つの鉛直面内で運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。また、棒の端がお椀の縁に達することはないとする。

棒は水平な状態でつり合っている。棒の中点と O を結ぶ線分が鉛直下向きとなす角を $\theta$ として、ラグランジアンからオイラー・ラグランジュ方程式を導き、つり合いの位置のまわりの微小振動の角振動数を、$g$ と $R$ を用いて表せ。

質量 $M$、半径 $R$ の一様で細い円形の輪（フープ）がある。輪の周上の 1 点 O を通り輪の面に垂直な水平の固定軸のまわりに、輪は鉛直面内でなめらかに回転できる。この輪に質量 $m$ の小さな玉 P が通してあり、P は輪に沿ってなめらかに動く。重力加速度の大きさを $g$ とし、玉は大きさの無視できる質点、輪の太さは無視できるものとする。空気抵抗やすべての摩擦は無視する。

輪の中心を C とし、線分 OC が鉛直下向きとなす角を $\theta$、線分 CP が鉛直下向きとなす角を $\varphi$ とする（どちらも同じ回転の向きを正とする）。系は $\theta =\varphi =0$ のつり合いの位置のまわりで、輪の面内で微小振動する。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を、大きいほうから順に $({\omega }_1,{\omega }_2)$ の組で、$M,m,R,g$ を用いて求めよ。