解析力学の問題

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できる、質量 $M$、半径 $R$ の一様な円板の滑車がある。滑車に軽くて伸び縮みしない糸をかけ、糸の一端に質量 $2m$ のおもり A を、他端に質量 $m$ のおもり B をつるす。糸は滑車に対して滑らず、おもりは鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。円板の中心軸まわりの慣性モーメントは $\frac{1}{2}M{R}^2$ である。

おもり A の鉛直下向きの変位 $x$ を一般化座標としてラグランジアンを書き、オイラー・ラグランジュ方程式から、おもり A の加速度の大きさを $m,M,g$ を用いて表せ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できる、半径 $R$、中心軸のまわりの慣性モーメント $I=m{R}^2$ の定滑車がある。滑車に質量の無視できる伸びない糸をかけ、糸の両端に質量 $3m$ のおもり A と質量 $m$ のおもり B をつるす。糸は滑車に対してすべらず、おもりは鉛直方向にだけ動くとする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

おもり A の鉛直下向きの変位 $x$ を一般化座標としてラグランジアン $L=T-V$ をつくり、オイラー・ラグランジュ方程式を用いて、おもり A の下向きの加速度 $\ddot{x}$ を $g$ を用いて表せ。

なめらかな水平な台の上に、質量 $m$ の小物体 P が置かれている。台には小さな穴 O があいていて、P につけた軽くて伸び縮みしない糸が O を通って台の下に垂れ下がり、その先に質量 $M$ のおもり Q がつるされている。Q は鉛直方向にだけ動き、糸は常にたるまないものとする。台面上で O を原点とする極座標 $(r,\theta )$ を用いて P の位置を表し、重力加速度の大きさを $g$ とする。糸と穴の間の摩擦、空気抵抗、P と Q の大きさは無視する。

P が O を中心とする半径 $r_0(>0)$ の等速円運動をしているときに、P をわずかに動径方向へ乱した。このとき、角運動量を保ったまま $r$ は $r_0$ のまわりで微小振動する。ラグランジアンを立ててオイラー・ラグランジュ方程式を導き、この微小振動の角振動数を $M,m,g,r_0$ を用いて求めよ。

なめらかな水平な床の上に、傾斜角 $\theta =\frac{\pi }{4}$ のなめらかな斜面をもつ質量 $2m$ のくさびが置かれている。くさびの斜面上に質量 $m$ の小物体を置き、静かにはなす。小物体は斜面に沿ってすべり下り、くさびは床の上を水平にすべる（くさびは回転せず、小物体は斜面から離れない）。重力加速度の大きさを $g$ とする。

くさびの水平位置 $X$ と、くさびに対して斜面に沿って下向きに測った小物体の変位 $s$ を一般化座標としてラグランジアンを書き、オイラー・ラグランジュ方程式を用いて、くさびの加速度の大きさ $|\ddot{X}|$ を $g$ を用いて表せ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できるように、長さ $l$、質量 $8m$ の一様な細い棒の上端 O を固定軸に取り付ける（O のまわりの棒の慣性モーメントは $\frac{1}{3}(8m)l^2=\frac{8}{3}m{l}^2$）。棒の下端 A に、長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸の一端をつなぎ、糸の他端に質量 $m$ の小球をつける。棒と糸は固定軸に垂直な 1 つの鉛直面内で運動し、糸は常にたるまないものとする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球の大きさは無視できる。

鉛直下向きから測った棒の傾き角を $\theta$、糸の傾き角を $\phi$ とする。$\theta =\phi =0$ のつり合いの位置のまわりの微小振動を考えるとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を、大きい方、小さい方の順に組で求めよ。