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解析力学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理解析力学

なめらかな水平な台の上に、質量 $m$ の小物体 P が置かれている。台には小さな穴 O があいていて、P につけた軽くて伸び縮みしない糸が O を通って台の下に垂れ下がり、その先に質量 $M$ のおもり Q がつるされている。Q は鉛直方向にだけ動き、糸は常にたるまないものとする。台面上で O を原点とする極座標 $(r, θ)$ を用いて P の位置を表し、重力加速度の大きさを $g$ とする。糸と穴の間の摩擦、空気抵抗、P と Q の大きさは無視する。

P が O を中心とする半径 $r_{0} (> 0)$ の等速円運動をしているときに、P をわずかに動径方向へ乱した。このとき、角運動量を保ったまま $r$ は $r_{0}$ のまわりで微小振動する。ラグランジアンを立ててオイラー・ラグランジュ方程式を導き、この微小振動の角振動数を $M, m, g, r_{0}$ を用いて求めよ。

この問題で使うもの

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ヒント

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ヒント 1

一般化座標を $r, θ$ とし、P と Q の運動エネルギーと Q の位置エネルギーを $r, r ˙, θ ˙$ で表してラグランジアンを作りましょう。Q の速さは $∣ r ˙ ∣$ です。

ヒント 2

$θ$ は循環座標なので $h = m r^{2} θ ˙$ が保存します。これを $r$ の方程式に代入し、 $r$ だけの方程式にしましょう。

ヒント 3

$r$ の方程式は $(M + m) r ¨ = \frac{h ^{2}}{m r ^{3}} - M g$ です。円運動の条件から $h^{2} = M g m r_{0}^{3}$ が出るので、 $r = r_{0} + ξ$ とおいて $ξ$ の 1 次まで展開しましょう。

答えと解説

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\frac{3 M g}{( M + m ) r _{0}}

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解説を読む

ラグランジアン
糸の長さを $l$ とすると、Q は穴 O から $l - r$ だけ下にある。Q の速さは $∣ r ˙ ∣$ である。P の運動エネルギーは $\frac{1}{2} m (r ˙^{2} + r^{2} θ ˙^{2})$ 、Q の運動エネルギーは $\frac{1}{2} M r ˙^{2}$ である。Q の位置エネルギーは、台面を基準として $- M g (l - r) = M g r - M g l$ となる。定数は運動方程式に影響しないので省くと、
$L = \frac{1}{2} (M + m) r ˙^{2} + \frac{1}{2} m r^{2} θ ˙^{2} - M g r$
である。台はなめらかで糸は軽く伸びないので、束縛力は仕事をしない。したがって、このラグランジアンからオイラー・ラグランジュ方程式で運動が決まる。

$θ$ の方程式
$L$ は $θ$ を含まない（ $θ$ は循環座標）ので、
$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial θ ˙} = \frac{\partial L}{\partial θ} = 0$
となる。よって
$h \equiv m r^{2} θ ˙ = 一定$
であり、角運動量が保存する。

$r$ の方程式
$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial r ˙} - \frac{\partial L}{\partial r} = (M + m) r ¨ - m r θ ˙^{2} + M g = 0$
$θ ˙ = \frac{h}{m r ^{2}}$ を代入すると、
$(M + m) r ¨ = \frac{h ^{2}}{m r ^{3}} - M g$
となる。

円運動の条件
$r = r_{0}$ で $r ¨ = 0$ となることから、
$\frac{h ^{2}}{m r _{0}^{3}} = M g$
が成り立つ。

微小振動
$r = r_{0} + ξ (∣ ξ ∣ ≪ r_{0})$ とおく。 $\frac{1}{r ^{3}} \approx \frac{1}{r _{0}^{3}} (1 - \frac{3 ξ}{r _{0}})$ を用いると、
$(M + m) ξ ¨ = \frac{h ^{2}}{m r _{0}^{3}} (1 - \frac{3 ξ}{r _{0}}) - M g = - \frac{3 M g}{r _{0}} ξ$
となる。これは単振動の方程式なので、角振動数は
$ω = \frac{3 M g}{( M + m ) r _{0}}$
である。

別解

糸の長さを $L$ とすると、Q の鉛直位置は $- (L - r)$ であり、Q の速さは $r ˙$ である。

ラグランジアンは
$L = \frac{1}{2} m (r ˙^{2} + r^{2} θ ˙^{2}) + \frac{1}{2} M r ˙^{2} - M g r$ （定数を除く。Q の位置エネルギーは $- M g (L - r) = M g r - M g L$ なので、 $- U = - M g r$ ）。

$θ$ についてのオイラー・ラグランジュ方程式から、 $m r^{2} θ ˙ = ℓ$ （一定）が得られる。

$r$ についての方程式は
$(m + M) r ¨ = m r θ ˙^{2} - M g = \frac{ℓ ^{2}}{m r ^{3}} - M g$ 。

等速円運動の条件 $r ¨ = 0$ より $ℓ^{2} / (m r_{0}^{3}) = M g$ 、すなわち $ℓ^{2} = m M g r_{0}^{3}$ 。

$r = r_{0} + x$ として線形化する。
$\frac{ℓ ^{2}}{m r ^{3}} \approx M g (1 - 3 x / r_{0})$ なので、
$(m + M) x ¨ = - 3 M g x / r_{0}$ 。

よって $ω^{2} = \frac{3 M g}{( M + m ) r _{0}}$ 、すなわち $ω = \frac{3 M g}{( M + m ) r _{0}}$ 。

検算として、等速円運動の角速度は $Ω^{2} = M g / (m r_{0})$ である。 $m = M$ なら $ω^{2} = \frac{3}{2} g / r_{0}$ となる。一般に $ω^{2} = 3 Ω^{2} m / (M + m)$ である。これは $M \to \infty$ のとき通常の中心力の場合の値と整合する。ここで $M$ が大きい極限では $ω^{2} = 3 g / r_{0} = 3 M g / (M r_{0})$ となり、これは $ω^{2} \to 3 g / r_{0}$ である。

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