解析力学の問題

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できる、質量 $2m$、半径 $R$ の一様な円板の滑車がある（軸のまわりの慣性モーメントは $\frac{1}{2}(2m)R^2=m{R}^2$）。滑車には軽くて伸びない糸がかけられ、糸の一端に質量 $m$ のおもり A、他端に質量 $3m$ のおもり B がつり下げられている。糸は滑車に対してすべらず、A と B はそれぞれ鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

B の鉛直下向きの変位 $x$ を一般化座標としてラグランジアンを書き、オイラー・ラグランジュ方程式から B の加速度 $\ddot{x}$ を求めよ。答えは $g$ を用いて表せ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できる、半径 $R$、中心軸のまわりの慣性モーメント $I=m{R}^2$ の定滑車がある。滑車に質量の無視できる伸びない糸をかけ、糸の両端に質量 $3m$ のおもり A と質量 $m$ のおもり B をつるす。糸は滑車に対してすべらず、おもりは鉛直方向にだけ動くとする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

おもり A の鉛直下向きの変位 $x$ を一般化座標としてラグランジアン $L=T-V$ をつくり、オイラー・ラグランジュ方程式を用いて、おもり A の下向きの加速度 $\ddot{x}$ を $g$ を用いて表せ。

なめらかな水平な台の上に、質量 $m$ の小物体 P が置かれている。台には小さな穴 O があいていて、P につけた軽くて伸び縮みしない糸が O を通って台の下に垂れ下がり、その先に質量 $M$ のおもり Q がつるされている。Q は鉛直方向にだけ動き、糸は常にたるまないものとする。台面上で O を原点とする極座標 $(r,\theta )$ を用いて P の位置を表し、重力加速度の大きさを $g$ とする。糸と穴の間の摩擦、空気抵抗、P と Q の大きさは無視する。

P が O を中心とする半径 $r_0(>0)$ の等速円運動をしているときに、P をわずかに動径方向へ乱した。このとき、角運動量を保ったまま $r$ は $r_0$ のまわりで微小振動する。ラグランジアンを立ててオイラー・ラグランジュ方程式を導き、この微小振動の角振動数を $M,m,g,r_0$ を用いて求めよ。

なめらかな水平な台の中央に小さな穴があいている。長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸を穴に通し、台の上側の端に質量 $m$ の小球 P を、台の下側の端に質量 $M$ のおもり Q をつなぐ。P は台の上をなめらかに動き、Q は穴の真下で鉛直方向にだけ動く。穴を原点とする台の上の極座標を $(r,\phi )$ とし、P の位置を表す。糸は常にたるまず、$0<r<l$ の範囲で運動するものとする。

ある時刻に、$r=a$、$\dot{r}=0$、$\dot{\phi }=\Omega$ であった（$a,\Omega$ は正の定数で $a<l$）。この瞬間の $\ddot{r}$ を、$m,M,g,a,\Omega$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗や糸と穴の間の摩擦は無視する。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できるように、長さ $l$、質量 $8m$ の一様な細い棒の上端 O を固定軸に取り付ける（O のまわりの棒の慣性モーメントは $\frac{1}{3}(8m)l^2=\frac{8}{3}m{l}^2$）。棒の下端 A に、長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸の一端をつなぎ、糸の他端に質量 $m$ の小球をつける。棒と糸は固定軸に垂直な 1 つの鉛直面内で運動し、糸は常にたるまないものとする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球の大きさは無視できる。

鉛直下向きから測った棒の傾き角を $\theta$、糸の傾き角を $\phi$ とする。$\theta =\phi =0$ のつり合いの位置のまわりの微小振動を考えるとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を、大きい方、小さい方の順に組で求めよ。