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解析力学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理解析力学

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できるように、長さ $l$ 、質量 $8 m$ の一様な細い棒の上端 O を固定軸に取り付ける（O のまわりの棒の慣性モーメントは $\frac{1}{3} (8 m) l^{2} = \frac{8}{3} m l^{2}$ ）。棒の下端 A に、長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸の一端をつなぎ、糸の他端に質量 $m$ の小球をつける。棒と糸は固定軸に垂直な 1 つの鉛直面内で運動し、糸は常にたるまないものとする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球の大きさは無視できる。

鉛直下向きから測った棒の傾き角を $θ$ 、糸の傾き角を $φ$ とする。 $θ = φ = 0$ のつり合いの位置のまわりの微小振動を考えるとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を、大きい方、小さい方の順に組で求めよ。

この問題で使うもの

慣性モーメントの計算（説明と入口の問題）
拘束のある系と一般化座標（説明と入口の問題）
ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（105 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

棒の回転の運動エネルギーと小球の運動エネルギー、および両者の位置エネルギーを $θ, φ$ で書き、つり合いの位置のまわりで 2 次まで展開して、質量行列と弾性行列を作る。

ヒント 2

小球の速さの 2 乗は $l^{2} [θ ˙^{2} + φ ˙^{2} + 2 θ ˙ φ ˙ cos (θ - φ)]$ である。棒の重心の高さは $- \frac{l}{2} cos θ$ である。基準角振動数は $det (K - ω^{2} M) = 0$ から求まる。

ヒント 3

$T = \frac{1}{2} m l^{2} (\frac{11}{3} θ ˙^{2} + 2 θ ˙ φ ˙ + φ ˙^{2})$ 、 $V = \frac{1}{2} m g l (5 θ^{2} + φ^{2})$ となる。 $λ = ω^{2} l / g$ とおくと、 $(5 - \frac{11}{3} λ) (1 - λ) - λ^{2} = 0$ を解けばよい。

答えと解説

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(\frac{5 g}{2 l}, \frac{3 g}{4 l})

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解説を読む

ラグランジアン

O を原点とし、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとる。棒の重心は $(\frac{l}{2} sin θ, - \frac{l}{2} cos θ)$ 、小球の位置は
$x = l (sin θ + sin φ), y = - l (cos θ + cos φ)$
である。小球の速さの 2 乗は
$x ˙^{2} + y ˙^{2} = l^{2} [θ ˙^{2} + φ ˙^{2} + 2 θ ˙ φ ˙ cos (θ - φ)] .$
棒は O のまわりの固定軸回転なので運動エネルギーは $\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} m l^{2} θ ˙^{2}$ 。よって
$T = \frac{4}{3} m l^{2} θ ˙^{2} + \frac{1}{2} m l^{2} [θ ˙^{2} + φ ˙^{2} + 2 θ ˙ φ ˙ cos (θ - φ)],$
$V = - 8 m g \frac{l}{2} cos θ - m g l (cos θ + cos φ) = - 5 m g l cos θ - m g l cos φ .$
軸はなめらかで空気抵抗もないので、系は保存系であり $L = T - V$ で記述できる。

微小振動の近似

$θ, φ$ と $θ ˙, φ ˙$ について 2 次までとる。 $cos (θ - φ) \approx 1$ 、 $cos θ \approx 1 - \frac{θ ^{2}}{2}$ とし、定数項を除くと
$T = \frac{1}{2} m l^{2} (\frac{11}{3} θ ˙^{2} + 2 θ ˙ φ ˙ + φ ˙^{2}), V = \frac{1}{2} m g l (5 θ^{2} + φ^{2}) .$
したがって質量行列と弾性行列は
$M = m l^{2} (\frac{11}{3} 1 11), K = m g l (5001) .$
ラグランジュ方程式は $M q ¨ + K q = 0$ （ $q = (θ, φ)^{T}$ ）となる。

固有方程式

$q \propto cos (ω t + α)$ とおくと $det (K - ω^{2} M) = 0$ である。 $λ = \frac{ω ^{2} l}{g}$ とおくと
$(5 - \frac{11}{3} λ) (1 - λ) - λ^{2} = 0.$
左辺を展開すると
$5 - 5 λ - \frac{11}{3} λ + \frac{11}{3} λ^{2} - λ^{2} = 5 - \frac{26}{3} λ + \frac{8}{3} λ^{2}$
となる。これを 3 倍して
$8 λ^{2} - 26 λ + 15 = 0.$
これを解くと
$λ = \frac{26 \pm 676 - 480}{16} = \frac{26 \pm 14}{16},$
すなわち $λ = \frac{5}{2}, \frac{3}{4}$ である。

基準振動

角振動数は $ω_{1} = \frac{5 g}{2 l}$ 、 $ω_{2} = \frac{3 g}{4 l}$ である。

振幅比を $(1 - λ) φ_{0} = λ θ_{0}$ から求める。
- $λ = \frac{3}{4}$ のとき $φ_{0} = 3 θ_{0}$ で、棒と糸が同じ向きに振れる。
- $λ = \frac{5}{2}$ のとき $φ_{0} = - \frac{5}{3} θ_{0}$ で、棒と糸が逆向きに振れる。

これは物理的な直感とも合う。

答え: $(\frac{5 g}{2 l}, \frac{3 g}{4 l})$

別解

系のラグランジアンを求め、微小振動で近似する。

棒の運動エネルギーは $\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} m l^{2} θ ˙^{2}$ 。小球の位置は $x = l sin θ + l sin φ$ 、 $y = - l cos θ - l cos φ$ なので、運動エネルギーは $\frac{1}{2} m l^{2} [θ ˙^{2} + φ ˙^{2} + 2 θ ˙ φ ˙ cos (θ - φ)]$ 。

微小振動では $cos (θ - φ) \approx 1$ とおけるので
$T = \frac{1}{2} m l^{2} [\frac{11}{3} θ ˙^{2} + 2 θ ˙ φ ˙ + φ ˙^{2}]$ 。

位置エネルギーは、棒の重心の分 $8 m g \frac{l}{2} (1 - cos θ)$ 、点 A の高さの分 $m g l (1 - cos θ)$ 、小球の糸に対する分 $m g l (1 - cos φ)$ の和。微小角で近似すると
$V \approx \frac{1}{2} m g l [5 θ^{2} + φ^{2}]$ 。

$ω^{2} = λ g / l$ とおいて $θ, φ \propto e^{iω t}$ を運動方程式に代入すると、永年方程式は
$5 - \frac{11}{3} λ - λ - λ 1 - λ = 0$ 。

展開すると $5 - \frac{26}{3} λ + \frac{8}{3} λ^{2} = 0$ 、すなわち $8 λ^{2} - 26 λ + 15 = 0$ 。

よって $λ = \frac{26 \pm 14}{16} = \frac{5}{2}, \frac{3}{4}$ 。

検算： $λ = 5/2$ のとき $(5 - \frac{55}{6}) (1 - \frac{5}{2}) = (- \frac{25}{6}) (- \frac{3}{2}) = \frac{25}{4} = λ^{2}$ で成り立つ。

したがって、大きい方、小さい方の順に
$ω_{1} = \frac{5 g}{2 l}, ω_{2} = \frac{3 g}{4 l} = \frac{1}{2} \frac{3 g}{l}$ 。

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