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解析力学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理解析力学

なめらかな水平な床の上に、質量 $m$ の台車が置かれている。台車は、左側の固定された壁とばね定数 $k$ の軽いばねでつながれ、ばねの方向（水平な $x$ 方向）にだけ動く。台車には、長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸の先に質量 $m$ の小球をつけた振り子がつるされており、振り子はばねを含む鉛直面内で振れる。ばね定数は $k = \frac{m g}{l}$ である（ $g$ は重力加速度の大きさ）。空気抵抗・摩擦は無視し、糸はたるまないものとする。

ばねが自然長で振り子が鉛直に垂れた状態を平衡状態とし、台車の平衡位置からの変位を $x$ 、振り子の糸が鉛直下向きとなす角を $θ$ とする。平衡状態のまわりの微小振動について、2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を小さい方で割った比を求めよ。

この問題で使うもの

拘束のある系と一般化座標（説明と入口の問題）
ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（105 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

台車の変位 $x$ と振り子の角 $θ$ を一般化座標にしてラグランジアンを書き、2 次の項まで展開する。

ヒント 2

運動エネルギーには $m l x ˙ θ ˙$ の交差項が入る。 $u = l θ$ とおくと質量行列は $m (2111)$ 、ばね行列は $m ω_{0}^{2} (1001)$ になる（ $ω_{0}^{2} = g / l$ ）。

ヒント 3

固有角振動数の方程式は $ω^{4} - 3 ω_{0}^{2} ω^{2} + ω_{0}^{4} = 0$ となる。

答えと解説

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\frac{3 + 5}{2}

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解説を読む

ラグランジアン 台車の位置は $x$ 、小球の位置は $(x + l sin θ, - l cos θ)$ （鉛直上向きを正、支点の高さを基準）である。小球の速度は $(x ˙ + l θ ˙ cos θ, l θ ˙ sin θ)$ なので、運動エネルギーは
$T = \frac{1}{2} m x ˙^{2} + \frac{1}{2} m (x ˙^{2} + 2 l x ˙ θ ˙ cos θ + l^{2} θ ˙^{2})$
ポテンシャルエネルギーは
$V = \frac{1}{2} k x^{2} - m g l cos θ$
である。微小振動なので 2 次の項まで残すと（ $cos θ \approx 1 - \frac{θ ^{2}}{2}$ 、運動エネルギーの $cos θ$ は $1$ としてよい）、定数項を除いて
$L = \frac{1}{2} (2 m x ˙^{2} + 2 m l x ˙ θ ˙ + m l^{2} θ ˙^{2}) - \frac{1}{2} (k x^{2} + m g l θ^{2})$

変数の置き換え $u = l θ$ , $ω_{0}^{2} = \frac{g}{l}$ とおき、 $k = \frac{m g}{l} = m ω_{0}^{2}$ を使うと
$L = \frac{m}{2} (2 x ˙^{2} + 2 x ˙ u ˙ + u ˙^{2}) - \frac{m ω _{0}^{2}}{2} (x^{2} + u^{2})$

運動方程式 ラグランジュ方程式より
$2 x ¨ + u ¨ + ω_{0}^{2} x = 0, x ¨ + u ¨ + ω_{0}^{2} u = 0$
$x = X e^{iω t}$ , $u = U e^{iω t}$ を代入すると
$(ω_{0}^{2} - 2 ω^{2} - ω^{2} - ω^{2} ω_{0}^{2} - ω^{2}) (X U) = 0$
自明でない解をもつ条件は
$(ω_{0}^{2} - 2 ω^{2}) (ω_{0}^{2} - ω^{2}) - ω^{4} = ω^{4} - 3 ω_{0}^{2} ω^{2} + ω_{0}^{4} = 0$
よって
$ω^{2} = \frac{3 \pm 5}{2} ω_{0}^{2}$
$(\frac{5 \pm 1}{2})^{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$ なので、基準振動の角振動数は
$ω_{+} = \frac{5 + 1}{2} ω_{0}, ω_{-} = \frac{5 - 1}{2} ω_{0}$

比
$\frac{ω _{+}}{ω _{-}} = \frac{5 + 1}{5 - 1} = \frac{( 5 + 1 ) ^{2}}{4} = \frac{3 + 5}{2}$

答え: $\frac{3 + 5}{2}$

別解

ラグランジアンは、台車の速度 $x ˙$ 、小球の速度 $(x ˙ + l θ ˙ cos θ, l θ ˙ sin θ)$ より\n $L = \frac{m}{2} x ˙^{2} + \frac{m}{2} (x ˙^{2} + 2 l x ˙ θ ˙ cos θ + l^{2} θ ˙^{2}) - \frac{k}{2} x^{2} - m g l (1 - cos θ) .$ \n微小振動で $cos θ \approx 1 - θ^{2} /2$ として2次まで:\n $L \approx \frac{m}{2} (2 x ˙^{2} + 2 l x ˙ θ ˙ + l^{2} θ ˙^{2}) - \frac{k}{2} x^{2} - \frac{m g l}{2} θ^{2} .$ \n運動方程式: $2 m x ¨ + m l θ ¨ + k x = 0$ , $m l x ¨ + m l^{2} θ ¨ + m g l θ = 0$ 。\n $x = X e^{iω t}$ , $θ = Θ e^{iω t}$ , $k = m g / l$ とおき、 $λ = ω^{2} l / g$ とすると\n $(1 - 2 λ) X^{'} - λ Θ = 0, - λ X^{'} + (1 - λ) Θ = 0 (X^{'} = X / l)$ \n係数行列式 $(1 - 2 λ) (1 - λ) - λ^{2} = λ^{2} - 3 λ + 1 = 0$ より $λ = \frac{3 \pm 5}{2}$ 。\n角振動数の比は $\frac{3 + 5}{3 - 5} = \frac{( 3 + 5 ) ^{2}}{4} = \frac{3 + 5}{2}$ 。\n検算: $λ_{+} λ_{-} = 1$ , $λ_{+} + λ_{-} = 3$ で $λ^{2} - 3 λ + 1 = 0$ と整合。 $λ_{+} / λ_{-} = λ_{+}^{2} = (\frac{3 + 5}{2})^{2}$ なので比 $= λ_{+} = \frac{3 + 5}{2} \approx 2.618$ 。

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