解析力学の問題

なめらかな水平な床の上に、質量 $m$ の台車が置かれている。台車は、左側の固定された壁とばね定数 $k$ の軽いばねでつながれ、ばねの方向（水平な $x$ 方向）にだけ動く。台車には、長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸の先に質量 $m$ の小球をつけた振り子がつるされており、振り子はばねを含む鉛直面内で振れる。ばね定数は $k=\frac{mg}{l}$ である（$g$ は重力加速度の大きさ）。空気抵抗・摩擦は無視し、糸はたるまないものとする。

ばねが自然長で振り子が鉛直に垂れた状態を平衡状態とし、台車の平衡位置からの変位を $x$、振り子の糸が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。平衡状態のまわりの微小振動について、2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を小さい方で割った比を求めよ。

なめらかな水平な直線上に、左から順に固定された壁、質量 $m$ の質点 1、質量 $2m$ の質点 2、固定された壁が並んでいる。左の壁と質点 1、質点 1 と質点 2、質点 2 と右の壁は、それぞればね定数 $k$ の軽いばねでつながれている。つり合いの状態では 3 本のばねはいずれも自然長である。質点は直線に沿ってのみ運動し、摩擦と空気抵抗は無視する。

つり合いの位置からの質点 1, 2 の変位を $x_1,x_2$（右向きを正）として、ラグランジュ形式でこの系の基準振動を求める。2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とするとき、比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できるように、長さ $l$、質量 $8m$ の一様な細い棒の上端 O を固定軸に取り付ける（O のまわりの棒の慣性モーメントは $\frac{1}{3}(8m)l^2=\frac{8}{3}m{l}^2$）。棒の下端 A に、長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸の一端をつなぎ、糸の他端に質量 $m$ の小球をつける。棒と糸は固定軸に垂直な 1 つの鉛直面内で運動し、糸は常にたるまないものとする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球の大きさは無視できる。

鉛直下向きから測った棒の傾き角を $\theta$、糸の傾き角を $\phi$ とする。$\theta =\phi =0$ のつり合いの位置のまわりの微小振動を考えるとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を、大きい方、小さい方の順に組で求めよ。

なめらかな水平な直線上に、左から順に質量 $m$ の質点 1、質量 $2m$ の質点 2、質量 $m$ の質点 3 が並んでいる。質点 1 と質点 2、質点 2 と質点 3 は、それぞればね定数 $k$ の軽いばねでつながれており、壁などには固定されていない。質点は直線に沿ってだけ動き、摩擦や空気抵抗は無視する。

各質点のつり合いの位置（ばねが自然長の位置）からの変位を $x_1$, $x_2$, $x_3$ とし、ラグランジアンから運動方程式を導いて基準振動を求める。基準振動の角振動数のうち $0$ でないものを、小さい方、大きい方の順に組で、$k$ と $m$ を用いて表せ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できる、質量 $M$、半径 $R$ の一様な円板の滑車がある。滑車に軽くて伸び縮みしない糸をかけ、糸の一端に質量 $2m$ のおもり A を、他端に質量 $m$ のおもり B をつるす。糸は滑車に対して滑らず、おもりは鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。円板の中心軸まわりの慣性モーメントは $\frac{1}{2}M{R}^2$ である。

おもり A の鉛直下向きの変位 $x$ を一般化座標としてラグランジアンを書き、オイラー・ラグランジュ方程式から、おもり A の加速度の大きさを $m,M,g$ を用いて表せ。