この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

解析力学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理解析力学

なめらかな水平な直線上に、左から順に質量 $m$ の質点 1、質量 $2 m$ の質点 2、質量 $m$ の質点 3 が並んでいる。質点 1 と質点 2、質点 2 と質点 3 は、それぞればね定数 $k$ の軽いばねでつながれており、壁などには固定されていない。質点は直線に沿ってだけ動き、摩擦や空気抵抗は無視する。

各質点のつり合いの位置（ばねが自然長の位置）からの変位を $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ とし、ラグランジアンから運動方程式を導いて基準振動を求める。基準振動の角振動数のうち $0$ でないものを、小さい方、大きい方の順に組で、 $k$ と $m$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

拘束のある系と一般化座標（説明と入口の問題）
ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（105 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

3 つの変位を一般化座標としてラグランジアンを書き、運動方程式を導く。

ヒント 2

$x_{i} = A_{i} e^{iω t}$ とおくと、 $ω^{2}$ についての 3 次方程式（行列式 $= 0$ ）になる。壁がないので $ω = 0$ の解が 1 つある。

ヒント 3

行列式は $2 (ω_{0}^{2} - ω^{2}) ω^{2} (ω^{2} - 2 ω_{0}^{2})$ に因数分解できる（ $ω_{0}^{2} = k / m$ ）。

答えと解説

答えを見る

(\frac{k}{m}, \frac{2 k}{m})

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

ラグランジアン
$L = \frac{1}{2} m x ˙_{1}^{2} + \frac{1}{2} (2 m) x ˙_{2}^{2} + \frac{1}{2} m x ˙_{3}^{2} - \frac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2} - \frac{1}{2} k (x_{3} - x_{2})^{2}$

運動方程式 ラグランジュ方程式 $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial x ˙ _{i}} = \frac{\partial L}{\partial x _{i}}$ より
$m x ¨_{1} = k (x_{2} - x_{1})$
$2 m x ¨_{2} = - k (x_{2} - x_{1}) + k (x_{3} - x_{2}) = k (x_{1} - 2 x_{2} + x_{3})$
$m x ¨_{3} = - k (x_{3} - x_{2})$

固有値問題 $x_{i} = A_{i} e^{iω t}$ を代入し、 $ω_{0}^{2} = \frac{k}{m}$ とおくと
$ω_{0}^{2} - ω^{2} - ω_{0}^{2} 0 - ω_{0}^{2} 2 ω_{0}^{2} - 2 ω^{2} - ω_{0}^{2} 0 - ω_{0}^{2} ω_{0}^{2} - ω^{2} A_{1} A_{2} A_{3} = 0$
行列式を第 1 行で展開すると
$(ω_{0}^{2} - ω^{2}) [(2 ω_{0}^{2} - 2 ω^{2}) (ω_{0}^{2} - ω^{2}) - ω_{0}^{4}] - ω_{0}^{4} (ω_{0}^{2} - ω^{2})$
$= (ω_{0}^{2} - ω^{2}) [2 (ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} - 2 ω_{0}^{4}] = 2 (ω_{0}^{2} - ω^{2}) \cdot ω^{2} (ω^{2} - 2 ω_{0}^{2})$
（ $(ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} - ω_{0}^{4} = ω^{2} (ω^{2} - 2 ω_{0}^{2})$ を使った）。これが $0$ となるのは
$ω^{2} = 0, ω_{0}^{2}, 2 ω_{0}^{2}$
のときである。

$ω = 0$ : $A_{1} = A_{2} = A_{3}$ （全体の平行移動）
$ω = ω_{0}$ : $A_{2} = 0$ , $A_{3} = - A_{1}$ （中央が止まり、両端が逆向きに振動）
$ω = 2 ω_{0}$ : $A_{1} = A_{3} = - A_{2}$ （両端と中央が逆向きに振動。重心は動かない: $m A_{1} + 2 m A_{2} + m A_{3} = 0$ ）

よって $0$ でない角振動数は、小さい順に
$\frac{k}{m}, \frac{2 k}{m}$

答え: $(\frac{k}{m}, \frac{2 k}{m})$

別解

$L = \frac{m}{2} x ˙_{1}^{2} + m x ˙_{2}^{2} + \frac{m}{2} x ˙_{3}^{2} - \frac{k}{2} (x_{2} - x_{1})^{2} - \frac{k}{2} (x_{3} - x_{2})^{2}$ 。\n運動方程式: $m x ¨_{1} = k (x_{2} - x_{1})$ , $2 m x ¨_{2} = - k (x_{2} - x_{1}) + k (x_{3} - x_{2})$ , $m x ¨_{3} = - k (x_{3} - x_{2})$ 。\n\n $x_{i} = X_{i} e^{iω t}$ , $λ = m ω^{2} / k$ とおくと\n $(1 - λ) X_{1} - X_{2} = 0$ , $- X_{1} + (2 - 2 λ) X_{2} - X_{3} = 0$ , $- X_{2} + (1 - λ) X_{3} = 0$ 。\n行列式: $(1 - λ) [(1 - λ) (2 - 2 λ) - 1] - (1 - λ) = (1 - λ) [2 (1 - λ)^{2} - 2] = 2 (1 - λ) [(1 - λ)^{2} - 1] = 2 (1 - λ) λ (λ - 2) = 0$ 。\nよって $λ = 0, 1, 2$ 。 $λ = 0$ は全体の並進（ $ω = 0$ ）。\n0 でないもの: $ω = k / m$ （ $X_{2} = 0$ , $X_{1} = - X_{3}$ の逆対称モード）と $ω = 2 k / m$ （ $X_{1} = X_{3}$ , $X_{2} = - X_{1}$ の対称モード）。\n検算: $λ = 2$ で $X_{2} = (1 - λ) X_{1} = - X_{1}$ , 第2式 $- X_{1} + (2 - 4) (- X_{1}) - X_{1} = - X_{1} + 2 X_{1} - X_{1} = 0$ ✓。

解析力学の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題